求指导本题解题过程，谢谢您！10.二阶常系数线性微分方程 ^n+y=0 的通解是 ()-|||-A. =Csin x 1+ B. =Ccos x-|||-C. =(C)_(1)sin x+(C)_(2)cos x D. =Csin x+cos x

考查要点：本题主要考查二阶常系数齐次线性微分方程的通解求解方法，特别是特征方程为复数根的情况。

解题核心思路：

1. 写出对应的特征方程，将微分方程中的导数项替换为对应的幂次。
2. 求解特征方程的根，根据根的不同情况选择通解形式。
3. 复数根的处理：当特征方程有一对共轭复根 $a \pm bi$ 时，通解形式为 $e^{at}(C_1 \cos(bt) + C_2 \sin(bt))$。本题中 $a=0$，因此通解简化为 $C_1 \cos x + C_2 \sin x$。

破题关键点：

• 识别特征方程的根为纯虚数，从而确定通解中的三角函数形式。
• 区分选项中系数的完整性，确保通解包含两个独立的任意常数 $C_1$ 和 $C_2$。

步骤1：写出特征方程

将微分方程 $y'' + y = 0$ 中的 $y''$ 替换为 $r^2$，得到特征方程：
$r^2 + 1 = 0$

步骤2：求解特征方程

解方程 $r^2 + 1 = 0$，得：
$r = \pm i$
即特征根为一对共轭复根 $0 \pm 1i$。

步骤3：构造通解

根据复数根的通解公式，当特征根为 $a \pm bi$ 时，通解为：
$y = e^{at}(C_1 \cos(bt) + C_2 \sin(bt))$
本题中 $a=0$，$b=1$，因此通解简化为：
$y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$

步骤4：匹配选项

选项中只有 C 包含两个独立的任意常数 $C_1$ 和 $C_2$，且形式正确。其他选项均不符合通解的要求。