题目
[例2]设随机变量X与Y相互独立,其概率分布为-|||-x 0 1-|||-P .dfrac (1)(3) .dfrac (2)(3)-|||-Y 0 1-|||-P .dfrac (1)(3) .dfrac (2)(3)-|||-则下列式子正确的是 () .-|||-(a) X=Y-|||-(b) X=Y-|||-)(c) X=Y =dfrac (5)(9)-|||-(d) X=Y =0
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定事件 $\{ X=Y\} $ 的等价事件
事件 $\{ X=Y\} $ 等价于事件 $\{ X=0,Y=0\} $ ∪ $\{ X=1,Y=1\} $，因为只有当X和Y同时取相同的值时，才有 $X=Y$。
步骤 2：计算 $P\{ X=0,Y=0\} $ 和 $P\{ X=1,Y=1\} $
由于X和Y是相互独立的随机变量，根据独立性的乘法公式，我们有：
$P\{ X=0,Y=0\} =P\{ X=0\} P\{ Y=0\} =\dfrac {1}{3}\times \dfrac {1}{3}=\dfrac {1}{9}$
$P\{ X=1,Y=1\} =P\{ X=1\} P\{ Y=1\} =\dfrac {2}{3}\times \dfrac {2}{3}=\dfrac {4}{9}$
步骤 3：计算 $P\{ X=Y\} $
根据加法公式，我们有：
$P\{ X=Y\} =P\{ X=0,Y=0\} +P\{ X=1,Y=1\} =\dfrac {1}{9}+\dfrac {4}{9}=\dfrac {5}{9}$
事件 $\{ X=Y\} $ 等价于事件 $\{ X=0,Y=0\} $ ∪ $\{ X=1,Y=1\} $，因为只有当X和Y同时取相同的值时，才有 $X=Y$。
步骤 2：计算 $P\{ X=0,Y=0\} $ 和 $P\{ X=1,Y=1\} $
由于X和Y是相互独立的随机变量，根据独立性的乘法公式，我们有：
$P\{ X=0,Y=0\} =P\{ X=0\} P\{ Y=0\} =\dfrac {1}{3}\times \dfrac {1}{3}=\dfrac {1}{9}$
$P\{ X=1,Y=1\} =P\{ X=1\} P\{ Y=1\} =\dfrac {2}{3}\times \dfrac {2}{3}=\dfrac {4}{9}$
步骤 3：计算 $P\{ X=Y\} $
根据加法公式，我们有：
$P\{ X=Y\} =P\{ X=0,Y=0\} +P\{ X=1,Y=1\} =\dfrac {1}{9}+\dfrac {4}{9}=\dfrac {5}{9}$