题目
5.（3.0分）证明若事件A,B相互独立，则overline(A),overline(B)也相互独立。A. 对B. 错
5.（3.0分）
证明若事件A,B相互独立，则$\overline{A},\overline{B}$也相互独立。
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：定义事件的独立性
事件 $A$ 和 $B$ 相互独立，意味着 $P(AB) = P(A)P(B)$。这表示事件 $A$ 发生的概率与事件 $B$ 发生的概率无关，反之亦然。
步骤 2：利用补集性质
要证明 $\overline{A}$ 和 $\overline{B}$ 也相互独立，即需证明 $P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A})P(\overline{B})$。首先，利用补集的性质，可以得到 $P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A + B}) = 1 - P(A + B)$。
步骤 3：应用概率加法公式
根据概率加法公式，$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)$。由于 $A$ 和 $B$ 相互独立，所以 $P(AB) = P(A)P(B)$。因此，$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$。
步骤 4：代入并简化
将 $P(A + B)$ 的表达式代入 $P(\overline{A}\overline{B}) = 1 - P(A + B)$ 中，得到 $P(\overline{A}\overline{B}) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A)P(B)] = [1 - P(A)][1 - P(B)] = P(\overline{A})P(\overline{B})$。这表明 $\overline{A}$ 和 $\overline{B}$ 也相互独立。
事件 $A$ 和 $B$ 相互独立，意味着 $P(AB) = P(A)P(B)$。这表示事件 $A$ 发生的概率与事件 $B$ 发生的概率无关，反之亦然。
步骤 2：利用补集性质
要证明 $\overline{A}$ 和 $\overline{B}$ 也相互独立，即需证明 $P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A})P(\overline{B})$。首先，利用补集的性质，可以得到 $P(\overline{A}\overline{B}) = P(\overline{A + B}) = 1 - P(A + B)$。
步骤 3：应用概率加法公式
根据概率加法公式，$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)$。由于 $A$ 和 $B$ 相互独立，所以 $P(AB) = P(A)P(B)$。因此，$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)$。
步骤 4：代入并简化
将 $P(A + B)$ 的表达式代入 $P(\overline{A}\overline{B}) = 1 - P(A + B)$ 中，得到 $P(\overline{A}\overline{B}) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A)P(B)] = [1 - P(A)][1 - P(B)] = P(\overline{A})P(\overline{B})$。这表明 $\overline{A}$ 和 $\overline{B}$ 也相互独立。