题目
以下是求xy' - y ln y = 0的通解的步骤，请选出正确步骤[]。 A. 分离变量得(1)/(y ln y) dy = (1)/(x) dxB. 两边积分得ln |ln y| = ln |x| + ln |C_1|C. 两边积分得ln |y| = ln |x| + ln |C_1|D. 原方程通解为y = e^CxE. 原方程通解为y = Ce^xA. a-c-eB. a-c-dC. a-b-dD. a-b-e
以下是求$xy' - y \ln y = 0$的通解的步骤，请选出正确步骤[]。
- A. 分离变量得$\frac{1}{y \ln y} dy = \frac{1}{x} dx$
- B. 两边积分得$\ln |\ln y| = \ln |x| + \ln |C_1|$
- C. 两边积分得$\ln |y| = \ln |x| + \ln |C_1|$
- D. 原方程通解为$y = e^{Cx}$
- E. 原方程通解为$y = Ce^x$
- A. a-c-e
- B. a-c-d
- C. a-b-d
- D. a-b-e
题目解答
答案
我们来一步一步分析这个题目，判断哪个步骤是正确的，并找出原方程的通解。
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### 一、原方程：
$$
xy' - y \ln y = 0
$$
首先，我们整理一下方程：
$$
xy' = y \ln y
$$
将 $ y' $ 写成 $ \frac{dy}{dx} $，得：
$$
x \frac{dy}{dx} = y \ln y
$$
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### 二、分离变量
我们尝试将变量 $ x $ 和 $ y $ 分离：
$$
\frac{dy}{y \ln y} = \frac{dx}{x}
$$
这个步骤是正确的，所以：
✅ **a 是正确的**
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### 三、两边积分
我们对两边分别积分：
左边是关于 $ y $ 的积分：
$$
\int \frac{1}{y \ln y} dy
$$
令 $ u = \ln y $，则 $ du = \frac{1}{y} dy $，所以：
$$
\int \frac{1}{y \ln y} dy = \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C = \ln |\ln y| + C
$$
右边是：
$$
\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C
$$
所以积分后得到：
$$
\ln |\ln y| = \ln |x| + C
$$
我们可以将常数写成 $ \ln |C_1| $，即：
$$
\ln |\ln y| = \ln |x| + \ln |C_1|
$$
所以：
✅ **b 是正确的**
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### 四、求通解
我们从：
$$
\ln |\ln y| = \ln |x| + \ln |C_1|
$$
两边取指数：
$$
|\ln y| = |C_1 x|
$$
去掉绝对值（考虑常数的正负）：
$$
\ln y = C x \quad \text{（其中 } C = \pm C_1 \text{）}
$$
再取指数：
$$
y = e^{C x}
$$
所以：
✅ **d 是正确的**
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### 五、选项分析
我们来核对选项：
- A. a-c-e → 错误，c 是错误的（积分后不是 $ \ln |y| $）
- B. a-c-d → 错误，c 是错误的
- C. a-b-d → ✅ 正确
- D. a-b-e → 错误，e 是错误的（正确通解是 $ y = e^{Cx} $，不是 $ Ce^x $）
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### ✅ 最终答案：
$$
\boxed{\text{C. a-b-d}}
$$