题目
过点M（3，0）做曲线y=ln（x-3）的一条切线，求切线、曲线及x轴围成的区域的面积．
过点M（3，0）做曲线y=ln（x-3）的一条切线，求切线、曲线及x轴围成的区域的面积．
题目解答
答案
解：设切点为（t,ln（t-3）），又$y′=\frac{1}{x-3}$，
所以切线方程为y-ln（t-3）=$\frac{1}{t-3}$（x-t），
所以0-ln（t-3）=$\frac{1}{t-3}$（3-t）=-1，解得t=e+3，
所以切线方程为$y=\frac{1}{e}x-\frac{3}{e}$，切点为（e+3，1），切线与x轴的交点为（3，0），
故切线与x轴，直线x=e+3围成的三角形面积为S1=$\frac{1}{2}$（e+3-3）×1=$\frac{e}{2}$，
曲线y=ln（x-3）与x轴，直线x=e+3围成的曲边梯形的面积为S2=${\int }_{4}^{e+3}$ln（x-3）dx=[（x-3）ln（x-3）-x]${|}_{4}^{e+3}$=1，
所以所求的面积S=S1-S2=$\frac{e}{2}-1$．
所以切线方程为y-ln（t-3）=$\frac{1}{t-3}$（x-t），
所以0-ln（t-3）=$\frac{1}{t-3}$（3-t）=-1，解得t=e+3，
所以切线方程为$y=\frac{1}{e}x-\frac{3}{e}$，切点为（e+3，1），切线与x轴的交点为（3，0），
故切线与x轴，直线x=e+3围成的三角形面积为S1=$\frac{1}{2}$（e+3-3）×1=$\frac{e}{2}$，
曲线y=ln（x-3）与x轴，直线x=e+3围成的曲边梯形的面积为S2=${\int }_{4}^{e+3}$ln（x-3）dx=[（x-3）ln（x-3）-x]${|}_{4}^{e+3}$=1，
所以所求的面积S=S1-S2=$\frac{e}{2}-1$．
解析
步骤 1：确定切点
设切点为（t, ln(t-3)），根据曲线y=ln(x-3)的导数$y'=\frac{1}{x-3}$，可以得到切线的斜率为$\frac{1}{t-3}$。由于切线过点M（3，0），可以得到切线方程为$y - ln(t-3) = \frac{1}{t-3}(x - t)$。将点M（3，0）代入切线方程，得到$0 - ln(t-3) = \frac{1}{t-3}(3 - t)$，解得t=e+3。
步骤 2：求切线方程
将t=e+3代入切线方程，得到切线方程为$y = \frac{1}{e}x - \frac{3}{e}$。切点为（e+3，1），切线与x轴的交点为（3，0）。
步骤 3：计算围成区域的面积
切线与x轴，直线x=e+3围成的三角形面积为$S_1 = \frac{1}{2}(e+3-3)×1 = \frac{e}{2}$。曲线y=ln(x-3)与x轴，直线x=e+3围成的曲边梯形的面积为$S_2 = \int_{4}^{e+3} ln(x-3)dx = [(x-3)ln(x-3) - x]_{4}^{e+3} = 1$。所以所求的面积$S = S_1 - S_2 = \frac{e}{2} - 1$。
设切点为（t, ln(t-3)），根据曲线y=ln(x-3)的导数$y'=\frac{1}{x-3}$，可以得到切线的斜率为$\frac{1}{t-3}$。由于切线过点M（3，0），可以得到切线方程为$y - ln(t-3) = \frac{1}{t-3}(x - t)$。将点M（3，0）代入切线方程，得到$0 - ln(t-3) = \frac{1}{t-3}(3 - t)$，解得t=e+3。
步骤 2：求切线方程
将t=e+3代入切线方程，得到切线方程为$y = \frac{1}{e}x - \frac{3}{e}$。切点为（e+3，1），切线与x轴的交点为（3，0）。
步骤 3：计算围成区域的面积
切线与x轴，直线x=e+3围成的三角形面积为$S_1 = \frac{1}{2}(e+3-3)×1 = \frac{e}{2}$。曲线y=ln(x-3)与x轴，直线x=e+3围成的曲边梯形的面积为$S_2 = \int_{4}^{e+3} ln(x-3)dx = [(x-3)ln(x-3) - x]_{4}^{e+3} = 1$。所以所求的面积$S = S_1 - S_2 = \frac{e}{2} - 1$。