题目
设函数列 f_n(x)= (1 + (x)/(n))^n, x in [0, +infty)。下列关于该函数列的一致收敛性的判断，正确的是:A. 在 [0, +infty) 上一致收敛到 f(x)= 0B. 在 [0, +infty) 上一致收敛到 f(x)= e^xC. 在 [0, +infty) 上不收敛D. 在 [0, +infty) 上不一致收敛
设函数列 $f_n(x)= \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n, x \in [0, +\infty)$。下列关于该函数列的一致收敛性的判断，正确的是:
A. 在 $[0, +\infty)$ 上一致收敛到 $f(x)= 0$
B. 在 $[0, +\infty)$ 上一致收敛到 $f(x)= e^x$
C. 在 $[0, +\infty)$ 上不收敛
D. 在 $[0, +\infty)$ 上不一致收敛
题目解答
答案
D. 在 $[0, +\infty)$ 上不一致收敛
解析
步骤 1：点态收敛
函数列 $f_n(x) = \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n$ 点态收敛到 $f(x) = e^x$。这是因为根据极限定义，当 $n \to \infty$ 时，$\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n$ 收敛到 $e^x$。
步骤 2：一致收敛性检验
考虑 $x = n$，则有 $f_n(n) = 2^n$ 和 $f(n) = e^n$。因此，$|f_n(n) - f(n)| = e^n \left| \left( \frac{2}{e} \right)^n - 1 \right|$。当 $n \to \infty$ 时，$\left( \frac{2}{e} \right)^n$ 趋向于无穷大，因此 $|f_n(n) - f(n)|$ 也趋向于无穷大。
步骤 3：一致收敛性结论
由于 $\sup_{x \in [0, +\infty)} |f_n(x) - f(x)| \to +\infty$，函数列在 $[0, +\infty)$ 上不一致收敛。
函数列 $f_n(x) = \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n$ 点态收敛到 $f(x) = e^x$。这是因为根据极限定义，当 $n \to \infty$ 时，$\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n$ 收敛到 $e^x$。
步骤 2：一致收敛性检验
考虑 $x = n$，则有 $f_n(n) = 2^n$ 和 $f(n) = e^n$。因此，$|f_n(n) - f(n)| = e^n \left| \left( \frac{2}{e} \right)^n - 1 \right|$。当 $n \to \infty$ 时，$\left( \frac{2}{e} \right)^n$ 趋向于无穷大，因此 $|f_n(n) - f(n)|$ 也趋向于无穷大。
步骤 3：一致收敛性结论
由于 $\sup_{x \in [0, +\infty)} |f_n(x) - f(x)| \to +\infty$，函数列在 $[0, +\infty)$ 上不一致收敛。