题目
2.设三阶方阵 =[ (alpha )_(1),(alpha )_(2),(alpha )_(3)] 的行列式为 |A|=4, 若令矩阵-|||-=[ (a)_(1)+(a)_(2),2(a)_(2),(a)_(3)-2(a)_(1)] , 则矩阵B的行列式 |B|= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：矩阵B的构造
矩阵B由矩阵A的列向量通过线性组合得到，即 $B=[ {\alpha }_{1}+{\alpha }_{2},2{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}-2{\alpha }_{1}] $。这可以看作是矩阵A乘以一个变换矩阵的结果。
步骤 2：变换矩阵的构造
为了得到矩阵B，我们需要找到一个变换矩阵P，使得 $B=AP$。根据B的构造，变换矩阵P为：
$$
P = \begin{bmatrix}
1 & 0 & -2 \\
1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
步骤 3：计算矩阵B的行列式
由于矩阵B可以表示为 $B=AP$，根据行列式的性质，有 $|B|=|A||P|$。已知 $|A|=4$，现在需要计算 $|P|$。
$$
|P| = \begin{vmatrix}
1 & 0 & -2 \\
1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1
\end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{vmatrix} + (-2) \cdot \begin{vmatrix}
1 & 2 \\
0 & 0
\end{vmatrix} = 2
$$
因此，$|B|=|A||P|=4 \cdot 2 = 8$。
矩阵B由矩阵A的列向量通过线性组合得到，即 $B=[ {\alpha }_{1}+{\alpha }_{2},2{\alpha }_{2},{\alpha }_{3}-2{\alpha }_{1}] $。这可以看作是矩阵A乘以一个变换矩阵的结果。
步骤 2：变换矩阵的构造
为了得到矩阵B，我们需要找到一个变换矩阵P，使得 $B=AP$。根据B的构造，变换矩阵P为：
$$
P = \begin{bmatrix}
1 & 0 & -2 \\
1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
步骤 3：计算矩阵B的行列式
由于矩阵B可以表示为 $B=AP$，根据行列式的性质，有 $|B|=|A||P|$。已知 $|A|=4$，现在需要计算 $|P|$。
$$
|P| = \begin{vmatrix}
1 & 0 & -2 \\
1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1
\end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{vmatrix} + (-2) \cdot \begin{vmatrix}
1 & 2 \\
0 & 0
\end{vmatrix} = 2
$$
因此，$|B|=|A||P|=4 \cdot 2 = 8$。