微分方程y''-2y'=xe^2x的一个特解应具有形式（）A. (Ax+B)e^2xB. Ax)e^2xC. Ax^2)e^2xD. x(Ax+B)e^2x

考查要点：本题主要考查二阶非齐次线性微分方程特解形式的确定方法，特别是当非齐次项与齐次解中的特征根重复时的处理方式。

解题核心思路：

1. 求解齐次方程的特征根，确定齐次解的形式；
2. 分析非齐次项的形式，判断是否与齐次解中的指数项重复；
3. 根据重复次数调整特解形式，通过乘以适当的幂次避免重复。

破题关键点：

• 特征根的判断：齐次方程的特征根为 $r=0$ 和 $r=2$；
• 非齐次项的结构：$xe^{2x}$ 中的指数 $e^{2x}$ 对应特征根 $r=2$，且该特征根为单根；
• 特解形式调整：因非齐次项与齐次解中的 $e^{2x}$ 重复，需乘以 $x$ 的一次方，最终特解形式为 $x(Ax+B)e^{2x}$。

步骤1：求解齐次方程

齐次方程为 $y'' - 2y' = 0$，其特征方程为：
$r^2 - 2r = 0 \implies r(r-2) = 0$
解得特征根 $r_1 = 0$，$r_2 = 2$，因此齐次解为：
$y_h = C_1 + C_2 e^{2x}$

步骤2：分析非齐次项

非齐次项为 $xe^{2x}$，其中指数函数 $e^{2x}$ 对应特征根 $r=2$。由于 $r=2$ 是齐次方程的单根，根据待定系数法，特解形式需乘以 $x$ 的一次方，即：
$y_p = x \cdot (Ax + B) e^{2x}$

步骤3：匹配选项

选项中符合上述形式的是 D. $x(Ax+B)e^{2x}$。