计算曲面积分iint_(Sigma)zdS，其中Sigma为锥面z=sqrt(x^2+y^2)在柱体x^2+y^2leq2x内的部分。 A. (32sqrt(2))/(3)B. (16sqrt(2))/(9)C. (32sqrt(2))/(9)D. (16sqrt(2))/(3)

为了计算曲面积分$\iint\limits_{\Sigma}zdS$，其中$\Sigma$为锥面$z=\sqrt{x^2+y^2}$在柱体$x^2+y^2 \leq 2x$内的部分，我们将遵循以下步骤： 1. **将曲面参数化**： 锥面由$z = \sqrt{x^2 + y^2}$给出。为了找到曲面元素$dS$，我们使用公式$dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dA$，其中$dA$是$xy$-平面上的面积元素。 这里，$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$和$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$。因此， \[ dS = \sqrt{1 + \left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)^2 + \left(\frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right)^2} \, dA = \sqrt{1 + \frac{x^2}{x^2 + y^2} + \frac{y^2}{x^2 + y^2}} \, dA = \sqrt{2} \, dA. \] 2. **将积分转换为极坐标**： 区域$x^2 + y^2 \leq 2x$可以重写为$(x-1)^2 + y^2 \leq 1$，这是一个中心在$(1,0)$、半径为1的圆。在极坐标中，$x = r \cos \theta$和$y = r \sin \theta$，不等式变为$r^2 \leq 2r \cos \theta$或$r \leq 2 \cos \theta$。积分的范围是$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$和$0 \leq r \leq 2 \cos \theta$。 曲面积分变为 \[ \iint\limits_{\Sigma} z \, dS = \iint\limits_{D} \sqrt{x^2 + y^2} \sqrt{2} \, dA = \sqrt{2} \iint\limits_{D} \sqrt{x^2 + y^2} \, dA, \] 其中$D$是圆$(x-1)^2 + y^2 \leq 1$在$xy$-平面上的区域。在极坐标中，这为 \[ \sqrt{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^{2 \cos \theta} r \cdot r \, dr \, d\theta = \sqrt{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^{2 \cos \theta} r^2 \, dr \, d\theta. \] 3. **计算积分**： 首先，关于$r$积分： \[ \int_0^{2 \cos \theta} r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^{2 \cos \theta} = \frac{(2 \cos \theta)^3}{3} = \frac{8 \cos^3 \theta}{3}. \] 现在，关于$\theta$积分： \[ \sqrt{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{8 \cos^3 \theta}{3} \, d\theta = \frac{8\sqrt{2}}{3} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^3 \theta \, d\theta. \] 利用$\cos^3 \theta = \cos \theta (1 - \sin^2 \theta)$，我们有 \[ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^3 \theta \, d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \theta (1 - \sin^2 \theta) \, d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \theta \, d\theta - \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \theta \sin^2 \theta \, d\theta. \] 第一个积分是 \[ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \theta \, d\theta = \left[ \sin \theta \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = 1 - (-1) = 2, \] 第二个积分，使用代换$u = \sin \theta$，$du = \cos \theta \, d\theta$，是 \[ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos \theta \sin^2 \theta \, d\theta = \int_{-1}^1 u^2 \, du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{-1}^1 = \frac{1}{3} - \left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3}. \] 因此， \[ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^3 \theta \, d\theta = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}. \] 所以，原始积分是 \[ \frac{8\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{32\sqrt{2}}{9}. \] 答案是$\boxed{\text{C}}$。