题目
6.选用适当坐标系计算下列各题:-|||-(1) iint dfrac ({x)^2}({y)^2}dx, 其中D是由直线 =2, y=x 及曲线 xy=1 所围成的闭区域;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域D
D是由直线x=2，y=x及曲线xy=1所围成的闭区域。首先，我们确定这些曲线的交点。直线x=2与曲线xy=1的交点为(2,1/2)，直线y=x与曲线xy=1的交点为(1,1)。因此，积分区域D在第一象限内，由点(1,1)到点(2,1/2)。
步骤 2：选择合适的坐标系
由于积分区域D由直线和曲线围成，且曲线xy=1在第一象限内，我们可以选择极坐标系来简化积分。设x=rcosθ，y=rsinθ，则dσ=rdrdθ。积分区域D在极坐标系下，θ的范围为[π/4,π/2]，r的范围为[1/cosθ,2/cosθ]。
步骤 3：将积分转换为极坐标系下的形式
将x=rcosθ，y=rsinθ代入原积分，得到$\iint \dfrac {{x}^{2}}{{y}^{2}}d\sigma =\int_{\pi/4}^{\pi/2}\int_{1/cos\theta}^{2/cos\theta}\dfrac {(rcos\theta)^{2}}{(rsin\theta)^{2}}rdrd\theta$。
步骤 4：计算积分
计算积分$\int_{\pi/4}^{\pi/2}\int_{1/cos\theta}^{2/cos\theta}\dfrac {(rcos\theta)^{2}}{(rsin\theta)^{2}}rdrd\theta$，得到$\int_{\pi/4}^{\pi/2}\int_{1/cos\theta}^{2/cos\theta}\dfrac {cos^{2}\theta}{sin^{2}\theta}rdrd\theta$。计算内层积分，得到$\int_{\pi/4}^{\pi/2}\dfrac {cos^{2}\theta}{sin^{2}\theta}[\dfrac {r^{2}}{2}]_{1/cos\theta}^{2/cos\theta}d\theta$。计算外层积分，得到$\int_{\pi/4}^{\pi/2}\dfrac {cos^{2}\theta}{sin^{2}\theta}[\dfrac {4}{2cos^{2}\theta}-\dfrac {1}{2cos^{2}\theta}]d\theta$。化简得到$\int_{\pi/4}^{\pi/2}\dfrac {3}{2sin^{2}\theta}d\theta$。计算积分，得到$\dfrac {3}{2}[-cot\theta]_{\pi/4}^{\pi/2}$。计算结果，得到$\dfrac {3}{2}[-cot(\pi/2)+cot(\pi/4)]$。化简得到$\dfrac {3}{2}[0+1]$。计算结果，得到$\dfrac {3}{2}$。
D是由直线x=2，y=x及曲线xy=1所围成的闭区域。首先，我们确定这些曲线的交点。直线x=2与曲线xy=1的交点为(2,1/2)，直线y=x与曲线xy=1的交点为(1,1)。因此，积分区域D在第一象限内，由点(1,1)到点(2,1/2)。
步骤 2：选择合适的坐标系
由于积分区域D由直线和曲线围成，且曲线xy=1在第一象限内，我们可以选择极坐标系来简化积分。设x=rcosθ，y=rsinθ，则dσ=rdrdθ。积分区域D在极坐标系下，θ的范围为[π/4,π/2]，r的范围为[1/cosθ,2/cosθ]。
步骤 3：将积分转换为极坐标系下的形式
将x=rcosθ，y=rsinθ代入原积分，得到$\iint \dfrac {{x}^{2}}{{y}^{2}}d\sigma =\int_{\pi/4}^{\pi/2}\int_{1/cos\theta}^{2/cos\theta}\dfrac {(rcos\theta)^{2}}{(rsin\theta)^{2}}rdrd\theta$。
步骤 4：计算积分
计算积分$\int_{\pi/4}^{\pi/2}\int_{1/cos\theta}^{2/cos\theta}\dfrac {(rcos\theta)^{2}}{(rsin\theta)^{2}}rdrd\theta$，得到$\int_{\pi/4}^{\pi/2}\int_{1/cos\theta}^{2/cos\theta}\dfrac {cos^{2}\theta}{sin^{2}\theta}rdrd\theta$。计算内层积分，得到$\int_{\pi/4}^{\pi/2}\dfrac {cos^{2}\theta}{sin^{2}\theta}[\dfrac {r^{2}}{2}]_{1/cos\theta}^{2/cos\theta}d\theta$。计算外层积分，得到$\int_{\pi/4}^{\pi/2}\dfrac {cos^{2}\theta}{sin^{2}\theta}[\dfrac {4}{2cos^{2}\theta}-\dfrac {1}{2cos^{2}\theta}]d\theta$。化简得到$\int_{\pi/4}^{\pi/2}\dfrac {3}{2sin^{2}\theta}d\theta$。计算积分，得到$\dfrac {3}{2}[-cot\theta]_{\pi/4}^{\pi/2}$。计算结果，得到$\dfrac {3}{2}[-cot(\pi/2)+cot(\pi/4)]$。化简得到$\dfrac {3}{2}[0+1]$。计算结果，得到$\dfrac {3}{2}$。