题目
设 Sigma 为 x^2 + y^2 + z^2 = 1 的外侧，则计算 iint_(Sigma) x^3 dydz + y^3 dxdz + z^3 dxdy 得A. 4piB. (12)/(5)piC. 2piD. 0
设 $\Sigma$ 为 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 的外侧，则计算 $\iint_{\Sigma} x^3 dydz + y^3 dxdz + z^3 dxdy$ 得
A. $4\pi$
B. $\frac{12}{5}\pi$
C. $2\pi$
D. $0$
题目解答
答案
B. $\frac{12}{5}\pi$
解析
步骤 1：应用高斯公式
根据高斯公式，将曲面积分转换为三重积分。对于给定的曲面 $\Sigma$，我们有： \[ \iint_{\Sigma} x^3 \, dydz + y^3 \, dxdz + z^3 \, dxdy = \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial}{\partial x}(x^3) + \frac{\partial}{\partial y}(y^3) + \frac{\partial}{\partial z}(z^3) \right) \, dV \] 其中，$\Omega$ 为单位球体 $x^2 + y^2 + z^2 \leq 1$。计算偏导数，我们得到： \[ \frac{\partial}{\partial x}(x^3) = 3x^2, \quad \frac{\partial}{\partial y}(y^3) = 3y^2, \quad \frac{\partial}{\partial z}(z^3) = 3z^2 \] 因此，三重积分变为： \[ \iiint_{\Omega} 3(x^2 + y^2 + z^2) \, dV \]
步骤 2：转换到球坐标系
在球坐标系中，设 $x = r \sin \theta \cos \phi$，$y = r \sin \theta \sin \phi$，$z = r \cos \theta$，则 $dV = r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi$。积分变为： \[ \iiint_{\Omega} 3r^4 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^1 3r^4 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi \]
步骤 3：计算三重积分
计算得： \[ \int_0^1 3r^4 \, dr = \frac{3}{5}, \quad \int_0^{\pi} \sin \theta \, d\theta = 2, \quad \int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi \] 结果为： \[ \frac{3}{5} \times 2 \times 2\pi = \frac{12\pi}{5} \]
根据高斯公式，将曲面积分转换为三重积分。对于给定的曲面 $\Sigma$，我们有： \[ \iint_{\Sigma} x^3 \, dydz + y^3 \, dxdz + z^3 \, dxdy = \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial}{\partial x}(x^3) + \frac{\partial}{\partial y}(y^3) + \frac{\partial}{\partial z}(z^3) \right) \, dV \] 其中，$\Omega$ 为单位球体 $x^2 + y^2 + z^2 \leq 1$。计算偏导数，我们得到： \[ \frac{\partial}{\partial x}(x^3) = 3x^2, \quad \frac{\partial}{\partial y}(y^3) = 3y^2, \quad \frac{\partial}{\partial z}(z^3) = 3z^2 \] 因此，三重积分变为： \[ \iiint_{\Omega} 3(x^2 + y^2 + z^2) \, dV \]
步骤 2：转换到球坐标系
在球坐标系中，设 $x = r \sin \theta \cos \phi$，$y = r \sin \theta \sin \phi$，$z = r \cos \theta$，则 $dV = r^2 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi$。积分变为： \[ \iiint_{\Omega} 3r^4 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^1 3r^4 \sin \theta \, dr \, d\theta \, d\phi \]
步骤 3：计算三重积分
计算得： \[ \int_0^1 3r^4 \, dr = \frac{3}{5}, \quad \int_0^{\pi} \sin \theta \, d\theta = 2, \quad \int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi \] 结果为： \[ \frac{3}{5} \times 2 \times 2\pi = \frac{12\pi}{5} \]