设直线 y=ax+b 与直线 x=0 =1 及 y=0 所围成的梯形面积等于A,-|||-试求a、b,使这个梯形绕x轴旋转所得旋转体的体积最小 (ageqslant 0,bgt 0).

考查要点：本题主要考查利用积分求旋转体体积及利用二次函数求极值的能力，同时涉及几何图形的面积计算与约束条件下的优化问题。

解题核心思路：

1. 确定梯形面积：根据直线与坐标轴围成的梯形，利用梯形面积公式建立方程，得到$a$与$b$的关系。
2. 计算旋转体体积：利用圆盘法对函数$y=ax+b$在区间$[0,1]$上积分，得到体积表达式。
3. 优化体积：在约束条件$a+2b=2A$下，将体积表示为$a$的函数，通过分析二次函数的极值确定$a$和$b$的值。

破题关键点：

• 梯形面积公式：正确识别梯形的上下底和高，建立面积方程。
• 积分计算：准确展开并计算积分$\int_0^1 (ax+b)^2 dx$。
• 二次函数极值：通过代入约束条件消元，将体积转化为$a$的二次函数，分析其最小值。

1. 确定梯形面积

梯形由直线$x=0$、$x=1$、$y=0$和$y=ax+b$围成。梯形的上下底分别为：

• 当$x=0$时，$y=b$；
• 当$x=1$时，$y=a+b$；
  高为$x$方向的长度$1$。

梯形面积公式为：
$A = \frac{1}{2} \times (b + a + b) \times 1 = \frac{a + 2b}{2}$
整理得约束条件：
$a + 2b = 2A \quad \text{(1)}$

2. 计算旋转体体积

绕$x$轴旋转的体积为：
$V = \pi \int_0^1 (ax + b)^2 dx$
展开被积函数：
$(ax + b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2$
逐项积分：
$\int_0^1 a^2x^2 dx = \frac{a^2}{3}, \quad \int_0^1 2abx dx = ab, \quad \int_0^1 b^2 dx = b^2$
因此体积为：
$V = \pi \left( \frac{a^2}{3} + ab + b^2 \right)$

3. 优化体积

将约束条件(1)中的$b = A - \frac{a}{2}$代入体积表达式：
$V = \pi \left( \frac{a^2}{3} + a\left(A - \frac{a}{2}\right) + \left(A - \frac{a}{2}\right)^2 \right)$
展开并整理：
$V = \pi \left( \frac{a^2}{3} + Aa - \frac{a^2}{2} + A^2 - Aa + \frac{a^2}{4} \right)$
合并同类项：
$V = \pi \left( \frac{a^2}{12} + A^2 \right)$
由于$a \geq 0$，二次函数$\frac{a^2}{12} + A^2$在$a=0$时取得最小值，此时$b = A$。