D: x^2 + y^2 leq 3，则 iint_(D) |x^2 + y^2 - 2| , mathrm(d)sigma = ( )A. (5pi)/(2)B. 2piC. (7pi)/(2)D. 3pi

本题考查利用极坐标计算二重积分，解题的关键在于根据被积函数中绝对值内式子的正负性将积分区域进行划分，然后分别计算积分。

1. 将积分区域 $D$ 转化为极坐标形式：
   已知积分区域 $D: x^2 + y^2 \leq 3$，在极坐标中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，则 $x^2 + y^2 = r^2$，所以积分区域 $D$ 可表示为 $0\leq r\leq\sqrt{3}$，$0\leq\theta\leq 2\pi$。
   同时，$\mathrm{d}\sigma = r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，原积分$\iint_{D} |x^2 + y^2 - 2| \, \mathrm{d}\sigma$可转化为$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\sqrt{3}}|r^2 - 2|r\mathrm{d}r$。
2. 根据绝对值内式子的正负性划分积分区间：
   令 $r^2 - 2 = 0$，解得 $r = \sqrt{2}$（$r\geq0$）。
   当 $0\leq r\leq\sqrt{2}$ 时，$r^2 - 2\leq0$，则 $|r^2 - 2| = 2 - r^2$；当 $\sqrt{2}\leq r\leq\sqrt{3}$ 时，$r^2 - 2\geq0$，则 $|r^2 - 2| = r^2 - 2$。
   所以$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\sqrt{3}}|r^2 - 2|r\mathrm{d}r=\int_{0}^{2\pi}d\theta\left(\int_{0}^{\sqrt{2}}(2 - r^2)r\mathrm{d}r+\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}(r^2 - 2)r\mathrm{d}r\right)$。
3. 分别计算两个定积分：
   • 计算$\int_{0}^{\sqrt{2}}(2 - r^2)r\mathrm{d}r$：
     先将被积函数展开得$(2 - r^2)r = 2r - r^3$，再根据定积分的运算法则计算：
     $\int_{0}^{\sqrt{2}}(2r - r^3)\mathrm{d}r=\left(r^2 - \frac{1}{4}r^4\right)\big|_{0}^{\sqrt{2}}=( (\sqrt{2})^2 - \frac{1}{4}(\sqrt{2})^4 ) - (0^2 - \frac{1}{4}\times0^4)=2 - 1 = 1$。
   • 计算$\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}(r^2 - 2)r\mathrm{d}r$：
     将被积函数展开得$(r^2 - 2)r = r^3 - 2r$，然后计算定积分：
     $\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}(r^3 - 2r)\mathrm{d}r=\left(\frac{1}{4}r^4 - r^2\right)\big|_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}=\left(\frac{1}{4}(\sqrt{3})^4 - (\sqrt{3})^2\right) - \left(\frac{1}{4}(\sqrt{2})^4 - (\sqrt{2})^2\right)$
     $=\left(\frac{9}{4} - 3\right) - \left(1 - 2\right)=\frac{9}{4} - 3 + 1=\frac{9}{4} - 2=\frac{1}{4}$。
4. 计算最终结果：
   将上述两个定积分的结果代入原式得：
   $\int_{0}^{2\pi}d\theta\left(\int_{0}^{\sqrt{2}}(2 - r^2)r\mathrm{d}r+\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}(r^2 - 2)r\mathrm{d}r\right)=\int_{0}^{2\pi}(1 + \frac{1}{4})d\theta$
   $=\frac{5}{4}\int_{0}^{2\pi}d\theta=\frac{5}{4}\times 2\pi=\frac{5\pi}{2}$。