17. int dfrac (1)(sqrt {x)}ln sqrt (x)dx

步骤 1：换元
令 $u = \ln \sqrt{x}$，则 $du = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} dx = \dfrac{1}{2x} dx$，即 $dx = 2x du$。
步骤 2：代入
将 $u$ 和 $dx$ 代入原积分，得到 $\int \dfrac{1}{\sqrt{x}} \ln \sqrt{x} dx = \int u \cdot 2x du$。
步骤 3：简化
由于 $u = \ln \sqrt{x}$，则 $x = e^{2u}$，代入上式得到 $\int u \cdot 2e^{2u} du$。
步骤 4：积分
对上式进行积分，得到 $\int u \cdot 2e^{2u} du = \int 2ue^{2u} du$。
步骤 5：分部积分
使用分部积分法，设 $v = u$，$dw = 2e^{2u} du$，则 $dv = du$，$w = e^{2u}$，得到 $\int 2ue^{2u} du = ue^{2u} - \int e^{2u} du$。
步骤 6：计算
计算 $\int e^{2u} du = \dfrac{1}{2}e^{2u} + C$，则 $\int 2ue^{2u} du = ue^{2u} - \dfrac{1}{2}e^{2u} + C$。
步骤 7：回代
将 $u = \ln \sqrt{x}$ 代回，得到 $\int \dfrac{1}{\sqrt{x}} \ln \sqrt{x} dx = \dfrac{1}{2}(\ln \sqrt{x})^2 + C$。