题目
简答题（共4题，20.0分）1. (5.0分) 计算定积分 int_(0)^2(x^2+1)dx 的值。
简答题（共4题，20.0分）
1. (5.0分) 计算定积分 $\int_{0}^{2}(x^{2}+1)dx$ 的值。
题目解答
答案
原函数为 $\frac{x^3}{3} + x$，应用微积分基本定理得：
\[
\int_{0}^{2}(x^{2}+1)dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{2} = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - 0 = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} = \frac{14}{3}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{14}{3}}$
解析
步骤 1：求原函数
首先，我们需要找到被积函数 $x^{2}+1$ 的原函数。根据积分的基本公式，$x^{2}$ 的原函数是 $\frac{x^{3}}{3}$，而常数项 $1$ 的原函数是 $x$。因此，$x^{2}+1$ 的原函数是 $\frac{x^{3}}{3} + x$。
步骤 2：应用微积分基本定理
接下来，我们应用微积分基本定理，计算定积分 $\int_{0}^{2}(x^{2}+1)dx$。根据微积分基本定理，定积分的值等于原函数在积分上限的值减去原函数在积分下限的值。即：
\[ \int_{0}^{2}(x^{2}+1)dx = \left[ \frac{x^{3}}{3} + x \right]_{0}^{2} \]
步骤 3：计算定积分的值
将积分上限 $2$ 和积分下限 $0$ 代入原函数 $\frac{x^{3}}{3} + x$ 中，得到：
\[ \left[ \frac{x^{3}}{3} + x \right]_{0}^{2} = \left( \frac{2^{3}}{3} + 2 \right) - \left( \frac{0^{3}}{3} + 0 \right) = \frac{8}{3} + 2 = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} = \frac{14}{3} \]
首先，我们需要找到被积函数 $x^{2}+1$ 的原函数。根据积分的基本公式，$x^{2}$ 的原函数是 $\frac{x^{3}}{3}$，而常数项 $1$ 的原函数是 $x$。因此，$x^{2}+1$ 的原函数是 $\frac{x^{3}}{3} + x$。
步骤 2：应用微积分基本定理
接下来，我们应用微积分基本定理，计算定积分 $\int_{0}^{2}(x^{2}+1)dx$。根据微积分基本定理，定积分的值等于原函数在积分上限的值减去原函数在积分下限的值。即：
\[ \int_{0}^{2}(x^{2}+1)dx = \left[ \frac{x^{3}}{3} + x \right]_{0}^{2} \]
步骤 3：计算定积分的值
将积分上限 $2$ 和积分下限 $0$ 代入原函数 $\frac{x^{3}}{3} + x$ 中，得到：
\[ \left[ \frac{x^{3}}{3} + x \right]_{0}^{2} = \left( \frac{2^{3}}{3} + 2 \right) - \left( \frac{0^{3}}{3} + 0 \right) = \frac{8}{3} + 2 = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} = \frac{14}{3} \]