计算下列广义积分：(int )_(1)^+infty dfrac (dx)(xsqrt {2{x)^2-1}}

考查要点：本题主要考查广义积分的计算，特别是通过变量替换将复杂的积分转化为标准形式的能力。关键在于选择合适的代换，简化被积函数，使其转化为可直接积分的形式。

解题核心思路：观察到被积函数中的根号结构$\sqrt{2x^2 -1}$，通过代数代换将其转化为更简单的表达式。通过令$t = \sqrt{2x^2 -1}$，可以将原积分转化为关于$t$的有理函数积分，进而利用标准积分公式求解。

破题关键点：

1. 变量替换：选择$t = \sqrt{2x^2 -1}$，简化根号部分。
2. 积分上下限转换：确定$x$从$1$到$+\infty$时，$t$的范围为$1$到$+\infty$。
3. 积分化简：通过代换将原积分转化为$\int \frac{1}{t^2 + 1} dt$，直接利用反正切函数的积分公式。

变量替换：令$t = \sqrt{2x^2 -1}$，则$t^2 = 2x^2 -1$，解得$x = \sqrt{\dfrac{t^2 + 1}{2}}$。对$t$求导得：
$dx = \frac{t}{\sqrt{2(t^2 + 1)}} dt$

积分转换：将原积分中的被积函数和积分变量替换为$t$的表达式：
$\begin{aligned}\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x \sqrt{2x^2 -1}} dx &= \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{\dfrac{t^2 + 1}{2}} \cdot t} \cdot \frac{t}{\sqrt{2(t^2 + 1)}} dt \\&= \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{t^2 + 1} dt\end{aligned}$

积分计算：利用标准积分公式$\int \frac{1}{t^2 + 1} dt = \arctan t + C$，得：
$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{t^2 + 1} dt = \left[ \arctan t \right]_{1}^{+\infty} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$