4. lim _(xarrow 0)dfrac (tan 5x)(3x)=dfrac (5)(3) ()

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用等价无穷小替换或洛必达法则处理三角函数在零点附近的近似值。

解题核心思路：
当$x \rightarrow 0$时，$\tan ax$与$ax$是等价无穷小，因此可将$\tan 5x$替换为$5x$，从而简化分式求极限。此外，若直接代入$x=0$导致“$\frac{0}{0}$”型不定式，也可用洛必达法则求解。

破题关键点：

1. 识别等价无穷小关系：$\tan 5x \sim 5x$（当$x \rightarrow 0$时）。
2. 简化分式后约分：替换后分子分母中的$x$可约去，直接得到常数比。

步骤1：应用等价无穷小替换
当$x \rightarrow 0$时，$\tan 5x \sim 5x$，因此原式可近似为：
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan 5x}{3x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{5x}{3x}.$

步骤2：约分并计算极限
分子分母中的$x$（$x \neq 0$）可约去，得：
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{5}{3} = \frac{5}{3}.$

验证（洛必达法则）
原式为“$\frac{0}{0}$”型不定式，对分子分母分别求导：
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(\tan 5x)}{\frac{d}{dx}(3x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{5 \sec^2 5x}{3} = \frac{5 \cdot 1}{3} = \frac{5}{3}.$