3、某种灯管的使用寿命ξ服从参数为0.002的指数分布E(0.002)，现任取三只这种灯管，则在500小时内，三只灯管中至多有两只损坏的概率为（）A. 1-(1-e^-1)^3B. 3e^-2(1-e^-1)C. 1-e^-3D. 3e^-1(1-e^-2)

考查要点：本题主要考查指数分布的生存概率计算以及二项分布的补集思想应用。

解题核心思路：

1. 指数分布的生存概率：灯管在500小时内不损坏的概率为 $P(\xi > 500) = e^{-0.002 \times 500} = e^{-1}$。
2. 损坏概率：灯管在500小时内损坏的概率为 $1 - e^{-1}$。
3. 至多两只损坏的等价转化：至多两只损坏等价于“不全部损坏”，即用补集思想计算 $1 - P(\text{三只均损坏})$。

破题关键点：

• 明确“至多两只损坏”与“三只均损坏”互补的关系，避免直接计算多情况之和。
• 正确应用二项分布的概率公式。

步骤1：计算单只灯管的损坏概率

灯管寿命 $\xi \sim E(0.002)$，在500小时内损坏的概率为：
$P(\xi \leq 500) = 1 - P(\xi > 500) = 1 - e^{-0.002 \times 500} = 1 - e^{-1}.$

步骤2：分析“至多两只损坏”的概率

“至多两只损坏”包含三种情况：0只损坏、1只损坏、2只损坏。但直接计算较复杂，可转化为补集：
$P(\text{至多两只损坏}) = 1 - P(\text{三只均损坏}).$

步骤3：计算三只均损坏的概率

三只灯管独立，均损坏的概率为：
$P(\text{三只均损坏}) = \left(1 - e^{-1}\right)^3.$

步骤4：最终概率计算

代入补集公式：
$P(\text{至多两只损坏}) = 1 - \left(1 - e^{-1}\right)^3.$

对应选项：A