设(X,Y)的概率密度函数为:f(x,y)= ,0leqslant xleqslant 1,0leqslant yleqslant x,-|||-,eese,.试求:(1)常数c;(2)X和Y的边缘密度函数; (3)P(Y<0.5 X) ; (4)判断X与Y的独立性

考查要点：本题主要考查二元连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度、条件概率及独立性的判断。
解题思路：

1. 确定常数c：利用概率密度函数的归一性，对定义域积分等于1求解。
2. 求边缘密度：对联合密度函数分别对y积分（求X的边缘）和对x积分（求Y的边缘）。
3. 计算概率：确定积分区域后对联合密度积分。
4. 独立性判断：验证联合密度是否等于边缘密度的乘积。

关键点：

• 积分区域的确定（尤其Y的边缘密度需注意x的下限为y）。
• 独立性条件的直接验证。

(1) 求常数c

根据归一性：
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} cxy \, dy dx = 1$
内积分：
$\int_{0}^{x} cxy \, dy = cx \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{c x^3}{2}$
外积分：
$\int_{0}^{1} \frac{c x^3}{2} dx = \frac{c}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{c}{8} = 1 \implies c = 8$

(2) 求边缘密度函数

X的边缘密度$f_X(x)$

$f_X(x) = \int_{0}^{x} 8xy \, dy = 8x \cdot \frac{x^2}{2} = 4x^3 \quad (0 \leq x \leq 1)$

Y的边缘密度$f_Y(y)$

$f_Y(y) = \int_{y}^{1} 8xy \, dx = 8y \cdot \frac{1 - y^2}{2} = 4y(1 - y^2) \quad (0 \leq y \leq 1)$

(3) 求$P\{Y < 0.5X\}$

积分区域：$0 \leq x \leq 1$，$0 \leq y \leq 0.5x$
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{0.5x} 8xy \, dy dx = \int_{0}^{1} 8x \cdot \frac{(0.5x)^2}{2} dx = \int_{0}^{1} x^3 dx = \frac{1}{4}$

(4) 判断独立性

取$x=0.5$，$y=0.25$，验证：
$f(0.5,0.25) = 8 \cdot 0.5 \cdot 0.25 = 1 \\ f_X(0.5) \cdot f_Y(0.25) = 0.5 \cdot 0.9375 = 0.46875 \neq 1$
结论：$f(x,y) \neq f_X(x)f_Y(y)$，故X与Y不独立。