[题目]求曲线 ) x=2(e)^t y=(e)^-t . 在-|||-t=0 () 相应的点处的切线方程和法线方程.

考查要点：本题主要考查参数方程表示的曲线在某一点处的切线方程和法线方程的求解方法，涉及参数方程求导、点坐标计算以及直线方程的建立。

解题核心思路：

1. 确定点坐标：将参数值$t=0$代入参数方程，得到对应点的坐标。
2. 求导数：利用参数方程求导公式$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$，计算曲线在该点的切线斜率。
3. 建立方程：根据点斜式方程，分别写出切线方程和法线方程（法线斜率为切线斜率的负倒数）。

破题关键点：

• 正确应用参数方程求导公式，注意分子为$y$对$t$的导数，分母为$x$对$t$的导数。
• 代数运算的准确性，尤其是在整理方程时避免符号错误。

1. 确定点坐标

将$t=0$代入参数方程：
$x = 2e^{0} = 2, \quad y = e^{-0} = 1$
因此，对应点的坐标为$(2, 1)$。

2. 求导数

参数方程求导：

• $\frac{dx}{dt} = 2e^{t}$
• $\frac{dy}{dt} = -e^{-t}$

根据公式$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$，得：
$\frac{dy}{dx} = \frac{-e^{-t}}{2e^{t}} = -\frac{1}{2}e^{-2t}$

代入$t=0$：
$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=0} = -\frac{1}{2}e^{0} = -\frac{1}{2}$
即切线斜率为$k_{\text{切}} = -\frac{1}{2}$，法线斜率为$k_{\text{法}} = 2$（负倒数）。

3. 建立方程

切线方程（点斜式）：
$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 2)$
整理得：
$x + 2y - 4 = 0$

法线方程（点斜式）：
$y - 1 = 2(x - 2)$
整理得：
$2x - y - 3 = 0$