题目
一、单选题（共20题，40.0分） 题型说明：简单 9.（单选题，2.0分） 要使函数Ψ(x)=(ax/(1+x)^4 x>0，0 x≤0)是某个随机变量的概率密度，则a=（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 3
一、单选题（共20题，40.0分） 题型说明：简单 9.（单选题，2.0分） 要使函数Ψ(x)={ax/(1+x)^4 x>0，0 x≤0}是某个随机变量的概率密度，则a=（）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 3
A. 4
B. 5
C. 6
D. 3
题目解答
答案
要使函数 $\Psi(x) = \begin{cases} \frac{ax}{(1+x)^4} & x > 0, \\ 0 & x \leq 0 \end{cases}$ 成为概率密度，其在 $(-\infty, +\infty)$ 上的积分为1。即
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{ax}{(1+x)^4} \, dx = 1
\]
令 $u = 1 + x$，则 $x = u - 1$，$dx = du$，积分变为
\[
a \int_{1}^{+\infty} \frac{u-1}{u^4} \, du = a \int_{1}^{+\infty} \left( u^{-3} - u^{-4} \right) \, du
\]
计算得
\[
a \left[ -\frac{1}{2}u^{-2} + \frac{1}{3}u^{-3} \right]_{1}^{+\infty} = a \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = \frac{a}{6}
\]
令 $\frac{a}{6} = 1$，解得 $a = 6$。
**答案：C**
解析
概率密度函数的性质是解决本题的核心。概率密度函数在整个实数范围上的积分必须等于1。因此，需要计算函数在$x>0$部分的积分，并令其等于1，从而解出$a$的值。
关键步骤包括变量替换简化积分、分项积分计算以及代数求解。通过令$u=1+x$，将原积分转化为更易处理的形式，再分别计算各分项的积分。
要使$\Psi(x)$为概率密度函数，需满足：
$\int_{-\infty}^{+\infty} \Psi(x) \, dx = 1$
由于$\Psi(x)=0$当$x \leq 0$，只需计算$x>0$部分的积分：
$\int_{0}^{+\infty} \frac{ax}{(1+x)^4} \, dx = 1$
变量替换：令$u = 1 + x$，则$x = u - 1$，$dx = du$，积分上下限变为$u=1$到$u=+\infty$，原式变为：
$a \int_{1}^{+\infty} \frac{u-1}{u^4} \, du$
分项积分：
$a \int_{1}^{+\infty} \left( u^{-3} - u^{-4} \right) \, du$
逐项计算：
- $\int u^{-3} \, du = -\frac{1}{2}u^{-2}$
- $\int u^{-4} \, du = -\frac{1}{3}u^{-3}$
代入上下限：
$a \left[ -\frac{1}{2}u^{-2} + \frac{1}{3}u^{-3} \right]_{1}^{+\infty}$
当$u \to +\infty$时，两项均趋近于0；代入$u=1$得：
$a \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = \frac{a}{6}$
解方程：
$\frac{a}{6} = 1 \quad \Rightarrow \quad a = 6$