题目
【10】设f(x)=} (e^ax^(3)-1)/(x-arcsin x),&x>0,6,&xleqslant 0在x=0点连续，则a=____.
【10】设$f(x)=\begin{cases} \frac{e^{ax^{3}}-1}{x-\arcsin x},&x>0,\\6,&x\leqslant 0\end{cases}$在x=0点连续，则a=____.
题目解答
答案
当 $x \to 0^+$ 时，利用泰勒展开近似：
- 分子 $e^{ax^3} - 1 \approx ax^3$，
- 分母 $x - \arcsin x \approx x - \left(x + \frac{x^3}{6}\right) = -\frac{x^3}{6}$。
代入极限得：
$$
\lim_{x \to 0^+} \frac{ax^3}{-\frac{x^3}{6}} = -6a.
$$
为使函数在 $x=0$ 点连续，需 $-6a = f(0) = 6$，解得 $a = -1$。
**答案：** $\boxed{-1}$
解析
考查要点：本题主要考查函数在某点连续的条件，以及利用泰勒展开或等价无穷小求极限的能力。
解题核心思路：
函数在$x=0$处连续，需满足$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 6$。关键在于计算$x \to 0^+$时分式$\frac{e^{ax^3}-1}{x-\arcsin x}$的极限，并令其等于$6$。
破题关键点：
- 分子泰勒展开：$e^{ax^3} \approx 1 + ax^3$（保留到三次项）。
- 分母泰勒展开：$\arcsin x \approx x + \frac{x^3}{6}$，从而分母$x - \arcsin x \approx -\frac{x^3}{6}$。
- 化简极限：分子分母约去$x^3$后，得到关于$a$的方程，解出$a$。
步骤1：分析连续条件
函数$f(x)$在$x=0$处连续，需满足：
$\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{ax^3} - 1}{x - \arcsin x} = f(0) = 6.$
步骤2：泰勒展开近似
- 分子：当$x \to 0$时，$e^{ax^3} \approx 1 + ax^3$，因此：
$e^{ax^3} - 1 \approx ax^3.$ - 分母：$\arcsin x$的泰勒展开为$x + \frac{x^3}{6} + \cdots$，因此：
$x - \arcsin x \approx x - \left(x + \frac{x^3}{6}\right) = -\frac{x^3}{6}.$
步骤3：代入极限表达式
将分子和分母的近似代入分式：
$\lim_{x \to 0^+} \frac{ax^3}{-\frac{x^3}{6}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{a}{-\frac{1}{6}} = -6a.$
步骤4：解方程求$a$
令极限等于$f(0)=6$：
$-6a = 6 \quad \Rightarrow \quad a = -1.$