5.设随机变量X与Y相互独立, sim U(0,1) , sim E(1) ,求 Z=X+Y 的概率密度.

步骤 1：确定随机变量X和Y的概率密度函数
随机变量X服从均匀分布$U(0,1)$，其概率密度函数为：
$$
f_X(x) = \begin{cases}
1, & 0 \leq x \leq 1 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
随机变量Y服从指数分布$E(1)$，其概率密度函数为：
$$
f_Y(y) = \begin{cases}
e^{-y}, & y \geq 0 \\
0, & \text{其他}
\end{cases}
$$
步骤 2：利用卷积公式求Z=X+Y的概率密度函数
由于X和Y相互独立，所以Z的概率密度函数$f_Z(z)$可以通过卷积公式求得：
$$
f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) dx
$$
步骤 3：计算卷积积分
根据$f_X(x)$和$f_Y(y)$的定义，卷积积分可以分为两部分计算：
$$
f_Z(z) = \int_{0}^{1} f_X(x) f_Y(z-x) dx
$$
当$0 \leq z \leq 1$时，$f_Y(z-x)$在$0 \leq x \leq z$时为$e^{-(z-x)}$，在$z < x \leq 1$时为0，因此：
$$
f_Z(z) = \int_{0}^{z} e^{-(z-x)} dx = 1 - e^{-z}, \quad 0 \leq z \leq 1
$$
当$z > 1$时，$f_Y(z-x)$在$0 \leq x \leq 1$时为$e^{-(z-x)}$，因此：
$$
f_Z(z) = \int_{0}^{1} e^{-(z-x)} dx = e^{-z} \int_{0}^{1} e^{x} dx = e^{-z} (e - 1), \quad z > 1
$$