4.试用逐次逼近法求方程 dfrac (dy)(dx)=x-(y)^2 满足初值条件 y(0)=-|||-0的近似解:-|||-φ0(x),φ1(x ),φ2(x),φ3 (x)

步骤 1：定义初始条件
给定的微分方程是 $\dfrac {dy}{dx}=x-{y}^{2}$，初值条件是 $y(0)=0$。我们使用逐次逼近法来求解这个方程的近似解。

步骤 2：构造逐次逼近序列
逐次逼近法的基本思想是构造一个函数序列 $\varphi_n(x)$，使得 $\varphi_n(x)$ 逐渐逼近方程的解。我们从初始条件出发，构造序列如下：
$$
\varphi_0(x) = y_0 = 0
$$
$$
\varphi_{n+1}(x) = y_0 + \int_0^x (t - \varphi_n^2(t)) dt
$$
其中 $y_0 = 0$ 是初值条件。

步骤 3：计算逐次逼近序列的前几项
根据上述公式，我们计算前几项 $\varphi_n(x)$。
$$
\varphi_0(x) = 0
$$
$$
\varphi_1(x) = 0 + \int_0^x (t - \varphi_0^2(t)) dt = \int_0^x t dt = \frac{1}{2}x^2
$$
$$
\varphi_2(x) = 0 + \int_0^x (t - \varphi_1^2(t)) dt = \int_0^x \left(t - \left(\frac{1}{2}t^2\right)^2\right) dt = \int_0^x \left(t - \frac{1}{4}t^4\right) dt = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{20}x^5
$$
$$
\varphi_3(x) = 0 + \int_0^x (t - \varphi_2^2(t)) dt = \int_0^x \left(t - \left(\frac{1}{2}t^2 - \frac{1}{20}t^5\right)^2\right) dt
$$
$$
= \int_0^x \left(t - \left(\frac{1}{4}t^4 - \frac{1}{20}t^7 + \frac{1}{400}t^{10}\right)\right) dt
$$
$$
= \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{20}x^5 + \frac{1}{160}x^8 - \frac{1}{4400}x^{11}
$$