题目
简答题（共5题，50.0分）12.（10.0分）求不定积分int(x^2-4x+4)/(x)dx
简答题（共5题，50.0分）
12.（10.0分）求不定积分
$\int\frac{x^{2}-4x+4}{x}dx$
题目解答
答案
为了求不定积分 $\int \frac{x^2 - 4x + 4}{x} \, dx$，我们首先简化被积函数。分子 $x^2 - 4x + 4$ 可以被分解为一个完全平方，即 $(x-2)^2$。因此，积分变为：
\[
\int \frac{(x-2)^2}{x} \, dx
\]
接下来，我们展开被积函数 $\frac{(x-2)^2}{x}$：
\[
\frac{(x-2)^2}{x} = \frac{x^2 - 4x + 4}{x} = \frac{x^2}{x} - \frac{4x}{x} + \frac{4}{x} = x - 4 + \frac{4}{x}
\]
现在，我们可以将积分拆分为三个独立的积分：
\[
\int \left( x - 4 + \frac{4}{x} \right) \, dx = \int x \, dx - \int 4 \, dx + \int \frac{4}{x} \, dx
\]
我们分别求每个积分：
1. $\int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1$
2. $\int 4 \, dx = 4x + C_2$
3. $\int \frac{4}{x} \, dx = 4 \ln |x| + C_3$
将这些结果合并，我们得到：
\[
\frac{x^2}{2} - 4x + 4 \ln |x| + C
\]
其中 $C = C_1 - C_2 + C_3$ 是积分常数。因此，不定积分是：
\[
\boxed{\frac{x^2}{2} - 4x + 4 \ln |x| + C}
\]
解析
考查要点：本题主要考查分式函数的不定积分计算，涉及分式的分解与多项式函数、对数函数的积分方法。
解题核心思路：
- 简化被积函数：观察分子是否为完全平方，将其分解为更易处理的形式。
- 分项积分：将分式拆分为多项式与简单分式的和，分别积分。
- 逐项积分：利用基本积分公式分别计算各部分的积分，最后合并结果。
破题关键点：
- 分子分解：识别分子为完全平方公式 $(x-2)^2$，简化后续步骤。
- 分项拆分：将分式拆分为 $x - 4 + \frac{4}{x}$，转化为多项式与 $\frac{1}{x}$ 的积分。
步骤1：分解分子
分子 $x^2 - 4x + 4$ 是完全平方公式，可分解为：
$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$
因此，原积分变为：
$\int \frac{(x-2)^2}{x} \, dx$
步骤2：展开分式
将分式展开为多项式与简单分式的和：
$\frac{(x-2)^2}{x} = \frac{x^2 - 4x + 4}{x} = \frac{x^2}{x} - \frac{4x}{x} + \frac{4}{x} = x - 4 + \frac{4}{x}$
步骤3：分项积分
将积分拆分为三个独立积分：
$\int \left( x - 4 + \frac{4}{x} \right) dx = \int x \, dx - \int 4 \, dx + \int \frac{4}{x} \, dx$
步骤4：逐项计算
- $\int x \, dx$：
$\int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1$ - $\int 4 \, dx$：
$\int 4 \, dx = 4x + C_2$ - $\int \frac{4}{x} \, dx$：
$\int \frac{4}{x} \, dx = 4 \ln |x| + C_3$
步骤5：合并结果
将所有结果合并，常数项合并为 $C = C_1 - C_2 + C_3$：
$\frac{x^2}{2} - 4x + 4 \ln |x| + C$