题目

(2)xy'-yln y=0;

(2)$xy'-y\ln y=0$;

题目解答

答案

将原方程改写为： \[xy' = y \ln y \implies \frac{y'}{y \ln y} = \frac{1}{x}.\] 分离变量并积分： \[\int \frac{1}{y \ln y} \, dy = \int \frac{1}{x} \, dx.\] 令 $u = \ln y$，则 $du = \frac{1}{y} \, dy$，积分变为： \[\int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C_1 = \ln |\ln y| + C_1.\] 右边积分结果为： \[\ln |x| + C_2.\] 合并常数得： \[\ln |\ln y| = \ln |x| + C \implies |\ln y| = C_3 |x| \implies \ln y = Cx.\] 解得： \[y = e^{Cx}.\] 包括特解 $y = 1$（当 $C = 0$ 时），通解为： \[\boxed{y = e^{Cx}}.\] 其中，$C$ 为任意常数。

解析

考查要点：本题主要考查可分离变量微分方程的解法，需要学生掌握变量分离的技巧以及积分方法的应用。

解题核心思路：

  1. 分离变量：将方程改写为关于$y$和$x$的分离形式，即$\frac{dy}{y \ln y} = \frac{dx}{x}$。
  2. 积分求解：对两边分别积分，注意积分过程中变量替换的技巧（如令$u = \ln y$）。
  3. 化简结果：通过指数运算消去对数，得到通解形式，并验证特解的存在性。

破题关键点：

  • 识别方程类型：确认方程为可分离变量方程，通过变形实现变量分离。
  • 变量替换简化积分：通过$u = \ln y$将复杂积分转化为简单形式。
  • 处理绝对值与常数：积分后合并常数并合理处理绝对值符号，得到最终通解。

步骤1：分离变量
原方程$xy' - y \ln y = 0$可改写为：
$x \frac{dy}{dx} = y \ln y \implies \frac{dy}{y \ln y} = \frac{dx}{x}.$

步骤2：积分求解
对两边分别积分：

  • 左边积分：令$u = \ln y$，则$du = \frac{1}{y} dy$，积分变为：
    $\int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C_1 = \ln |\ln y| + C_1.$
  • 右边积分：
    $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C_2.$

步骤3：合并常数并化简
将两边结果合并，得到：
$\ln |\ln y| = \ln |x| + C \quad (\text{其中} \ C = C_2 - C_1).$
对等式两边取指数函数，消去对数：
$|\ln y| = C_3 |x| \quad (\text{其中} \ C_3 = e^C > 0).$
去掉绝对值符号，得：
$\ln y = Cx \quad (\text{允许} \ C \ \text{为任意常数}).$

步骤4：求通解
对等式两边取指数函数，最终解得：
$y = e^{Cx}.$
当$C = 0$时，特解为$y = 1$，因此通解为：
$y = e^{Cx} \quad (\text{其中} \ C \ \text{为任意常数}).$