题目
4.14 设(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= ) 1,0leqslant |y|leqslant xleqslant 10 0,erasure . 则 Cov(X,Y)= __ .
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
给定的概率密度函数 $f(x,y)$ 在区域 $D=\{ (x,y)|0\leqslant |y|\leqslant x\leqslant 1\}$ 上为1，其他区域为0。该区域由 $y=-x$，$y=x$ 和 $x=1$ 三条直线围成，且关于x轴对称。
步骤 2：计算 $E(XY)$
由于区域 $D$ 关于x轴对称，$E(XY)$ 的计算结果为0。这是因为 $xy$ 在 $D$ 上的积分在 $y$ 的正负值上相互抵消。
$$E(XY) = \iint_{D} xy \cdot f(x,y) \, dxdy = 0$$
步骤 3：计算 $EY$
由于 $D$ 关于x轴对称，$EY$ 的计算结果也为0。这是因为 $y$ 在 $D$ 上的积分在 $y$ 的正负值上相互抵消。
$$EY = \iint_{D} y \cdot f(x,y) \, dxdy = 0$$
步骤 4：计算 $Cov(X,Y)$
根据协方差的定义，$Cov(X,Y) = E(XY) - EXEY$。由于 $E(XY) = 0$ 且 $EY = 0$，所以 $Cov(X,Y) = 0$。
$$Cov(X,Y) = E(XY) - EXEY = 0 - EX \cdot 0 = 0$$
给定的概率密度函数 $f(x,y)$ 在区域 $D=\{ (x,y)|0\leqslant |y|\leqslant x\leqslant 1\}$ 上为1，其他区域为0。该区域由 $y=-x$，$y=x$ 和 $x=1$ 三条直线围成，且关于x轴对称。
步骤 2：计算 $E(XY)$
由于区域 $D$ 关于x轴对称，$E(XY)$ 的计算结果为0。这是因为 $xy$ 在 $D$ 上的积分在 $y$ 的正负值上相互抵消。
$$E(XY) = \iint_{D} xy \cdot f(x,y) \, dxdy = 0$$
步骤 3：计算 $EY$
由于 $D$ 关于x轴对称，$EY$ 的计算结果也为0。这是因为 $y$ 在 $D$ 上的积分在 $y$ 的正负值上相互抵消。
$$EY = \iint_{D} y \cdot f(x,y) \, dxdy = 0$$
步骤 4：计算 $Cov(X,Y)$
根据协方差的定义，$Cov(X,Y) = E(XY) - EXEY$。由于 $E(XY) = 0$ 且 $EY = 0$，所以 $Cov(X,Y) = 0$。
$$Cov(X,Y) = E(XY) - EXEY = 0 - EX \cdot 0 = 0$$