题目
单选题（共20题，100.0分）14.（5.0分）设A为三阶矩阵，且|A+E|=0，|A+2E|=0，|A+3E|=0，|A+4E|=（）A -2；B 6；C 4.D -4；
单选题（共20题，100.0分）
14.（5.0分）
设A为三阶矩阵，且|A+E|=0，|A+2E|=0，|A+3E|=0，|A+4E|=（）
A -2；
B 6；
C 4.
D -4；
题目解答
答案
由题意，|A+E|=0，|A+2E|=0，|A+3E|=0，说明矩阵A的特征值为-1、-2、-3。
对于矩阵A+4E，其特征值为λ+4，其中λ为A的特征值。因此，A+4E的特征值为：
\[
-1+4=3, \quad -2+4=2, \quad -3+4=1
\]
矩阵的行列式等于其特征值的乘积，故：
\[
|A+4E| = 3 \times 2 \times 1 = 6
\]
因此，正确答案是B. 6。
答案：B. 6
解析
本题考查矩阵矩阵特征值与行列式的关系。解题思路如下：
- 首先根据矩阵特征值的定义，若$\vert A - \lambda E\vert = 0$，则$\lambda$为矩阵$A$的特征值。
- 已知$\vert A + E\vert = 0$，可变形为$\vert A-(-1)E\vert = 0$，根据特征值定义，可知$A$的一个特征值为$\lambda_1=-1$。
- 已知$\vert A + 2E\vert = 0$，可变形为$\vert A-(-1)E\vert = 0$，根据特征值定义，矩阵$A$的一个特征值为$\lambda_1 = - 1$。
- 已知$\vert A + 2E\vert = 0$，可变形为$\vert A-(-2)E\vert = 0$，根据特征值定义，矩阵$A$的一个特征值为$\lambda_2=-2$。
- 已知$\vert A + 3E\vert = 0$，可变形为$\vert A-(-3)E\vert = 0$，根据特征值定义，矩阵$A$的一个特征值为$\lambda_3=-3$。
- 然后根据矩阵特征值的性质，若$\lambda$是矩阵$A$的特征值，则$f(\lambda$是矩阵$f(A)$的特征值，这里$f(A)=A + 4E$，$f(\lambda)= \lambda+4$。
- 当$\lambda_1=-1$时，$f(\lambda_1)=\lambda_1 + 4=-1 + 4 = 3$。
- 当$\lambda_2=-2$时，$f(\lambda_2)=\lambda_2 + 4=-2 + 4 = 2$。
- 当$\lambda_3=-3$时，$f(\lambda_3)=\lambda_3 + 4=-3 + 4 = 1$。
- 所以矩阵$A + 4E$的特征值为$3$、$2$、$1$。
- 最后根据矩阵行列式与特征值的关系，矩阵的行列式等于其所有特征值的乘积。
- 对于三阶矩阵$A + 4E$，其行列式$\vert A + 4E\vert$等于它的三个特征值的乘积，即$\vert A + 4E\vert=3\times2\times1 = 6$。