(1992)lim_(xto0)(e^x-sin x-1)/(1-sqrt(1-x^2))

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理$\frac{0}{0}$型不定式的能力。需要熟练掌握泰勒展开或洛必达法则的应用。

解题核心思路：

1. 泰勒展开法：将分子和分母中的函数展开到足够阶数，约去高阶无穷小后直接计算极限。
2. 洛必达法则：对分子和分母分别求导，化简后求极限。

破题关键点：

• 分子中的$e^x$和$\sin x$展开到二次项，分母中的$\sqrt{1-x^2}$展开到二次项，可快速化简表达式。
• 若使用洛必达法则，需注意分母求导后的化简技巧，避免重复求导增加计算复杂度。

方法一：泰勒展开法

1. 展开分子：

   • $e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$
   • $\sin x \approx x$
   • 分子化简为：
     $e^x - \sin x -1 \approx \left(1 + x + \frac{x^2}{2}\right) - x -1 = \frac{x^2}{2}$

2. 展开分母：

   • $\sqrt{1 - x^2} \approx 1 - \frac{x^2}{2}$
   • 分母化简为：
     $1 - \sqrt{1 - x^2} \approx 1 - \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) = \frac{x^2}{2}$

3. 代入原式：
   $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{\frac{x^2}{2}} = 1$

方法二：洛必达法则

1. 第一次求导：

   • 分子导数：$\frac{d}{dx}(e^x - \sin x -1) = e^x - \cos x$
   • 分母导数：$\frac{d}{dx}\left(1 - \sqrt{1 - x^2}\right) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

2. 化简后极限：
   $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}}$

3. 近似化简分母：

   • 当$x \to 0$时，$\sqrt{1 - x^2} \approx 1$，分母近似为$x$。
   • 分子展开：$e^x \approx 1 + x$，$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$，故分子近似为$x + \frac{x^2}{2}$。

4. 最终化简：
   $\lim_{x \to 0} \frac{x + \frac{x^2}{2}}{x} = \lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{x}{2}\right) = 1$