求直线 ) x+y-z-1=0 x-y+z+1=0 .在平面x+y+z=0上的投影直线的方程。

考查要点：本题主要考查空间几何中直线在平面上的投影方程求解方法，涉及平面束方程的应用及平面垂直条件的运用。

解题核心思路：

1. 平面束方程：过已知直线的所有平面可表示为两个平面方程的线性组合。
2. 垂直条件：投影平面需与原平面垂直，通过法向量点积为零确定参数。
3. 联立方程：投影直线是投影平面与原平面的交线，联立两平面方程即可得到结果。

破题关键点：

• 正确写出平面束方程，并利用垂直条件求解参数。
• 联立投影平面与原平面方程，得到投影直线的方程。

步骤1：确定平面束方程
已知直线由平面方程联立：
$\begin{cases}x + y - z - 1 = 0 \\x - y + z + 1 = 0\end{cases}$
平面束方程为：
$(x + y - z - 1) + \alpha (x - y + z + 1) = 0$
展开整理得：
$(1+\alpha)x + (1-\alpha)y + (-1+\alpha)z + (\alpha - 1) = 0$

步骤2：平面垂直条件
投影平面需与原平面 $x + y + z = 0$ 垂直，其法向量为 $(1,1,1)$。平面束的法向量为 $(1+\alpha, 1-\alpha, -1+\alpha)$，垂直条件为：
$(1+\alpha) \cdot 1 + (1-\alpha) \cdot 1 + (-1+\alpha) \cdot 1 = 0$
解得：
$1 + \alpha = 0 \quad \Rightarrow \quad \alpha = -1$

步骤3：确定投影平面方程
将 $\alpha = -1$ 代入平面束方程：
$0 \cdot x + 2y - 2z - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad y - z - 1 = 0$

步骤4：联立求投影直线
投影直线是投影平面 $y - z - 1 = 0$ 与原平面 $x + y + z = 0$ 的交线，联立得：
$\begin{cases}y - z - 1 = 0 \\x + y + z = 0\end{cases}$