题目

int dfrac (xdx)((x+1)(x+2)(x+3));

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题目解答

答案

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解析

考查要点：本题主要考查有理函数的积分，特别是利用部分分式分解法将被积函数拆分为简单分式的和，进而逐项积分。

解题核心思路：

  1. 部分分式分解：将分母因式分解为一次因式的乘积，假设被积函数可表示为各简单分式的线性组合。
  2. 待定系数法：通过代入特定值或比较系数，求出各部分分式的系数。
  3. 逐项积分：对分解后的简单分式分别积分，结果用自然对数函数表示。

破题关键点：

  • 正确分解分母：确认分母的因式分解形式是否正确。
  • 系数求解：通过代入特殊值或展开方程组求解待定系数。
  • 积分公式应用：对形如 $\frac{1}{x+a}$ 的积分直接应用公式 $\int \frac{dx}{x+a} = \ln|x+a| + C$。

题目：计算不定积分 $\displaystyle \int \frac{x \, dx}{(x+1)(x+2)(x+3)}$。

解答过程：

步骤1：部分分式分解

假设被积函数可分解为：
$\frac{x}{(x+1)(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{x+3}$
两边同乘分母 $(x+1)(x+2)(x+3)$，得：
$x = A(x+2)(x+3) + B(x+1)(x+3) + C(x+1)(x+2)$

步骤2：求待定系数

代入特殊值：

  • 令 $x = -1$：
    $-1 = A(1)(2) \implies A = -\frac{1}{2}$
  • 令 $x = -2$：
    $-2 = B(-1)(1) \implies B = 2$
  • 令 $x = -3$：
    $-3 = C(-2)(-1) \implies C = -\frac{3}{2}$

步骤3：分解结果

$\frac{x}{(x+1)(x+2)(x+3)} = -\frac{1}{2(x+1)} + \frac{2}{x+2} - \frac{3}{2(x+3)}$

步骤4：逐项积分

$\begin{aligned}\int \frac{x \, dx}{(x+1)(x+2)(x+3)} &= -\frac{1}{2} \int \frac{dx}{x+1} + 2 \int \frac{dx}{x+2} - \frac{3}{2} \int \frac{dx}{x+3} \\&= -\frac{1}{2} \ln|x+1| + 2 \ln|x+2| - \frac{3}{2} \ln|x+3| + C\end{aligned}$