设f(z)=x^3-y^3+2x^2y^2i，问：f(z)在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值。

将函数 $ f(z) = x^3 - y^3 + 2x^2y^2i $ 分解为实部 $ u(x, y) = x^3 - y^3 $ 和虚部 $ v(x, y) = 2x^2y^2 $。计算偏导数： \[ u_x = 3x^2, \quad u_y = -3y^2, \quad v_x = 4xy^2, \quad v_y = 4x^2y. \] 应用柯西-黎曼方程 $ u_x = v_y $ 和 $ u_y = -v_x $： 1. $ 3x^2 = 4x^2y $ 解得 $ x = 0 $ 或 $ y = \frac{3}{4} $， 2. $ -3y^2 = -4xy^2 $ 解得 $ y = 0 $ 或 $ x = \frac{3}{4} $。 交集解为 $ (0, 0) $ 和 $ \left( \frac{3}{4}, \frac{3}{4} \right) $，即 $ z = 0 $ 和 $ z = \frac{3}{4} + i \frac{3}{4} $。 导数 $ f'(z) = u_x + iv_x $： - 在 $ z = 0 $ 处，$ f'(0) = 0 $， - 在 $ z = \frac{3}{4} + i \frac{3}{4} $ 处，$ f'\left( \frac{3}{4} + i \frac{3}{4} \right) = \frac{27}{16}(1 + i) $。 由于可导点孤立，函数处处不解析。 **答案：** 可导点：$ z = 0 $，$ z = \frac{3}{4} + i \frac{3}{4} $； 导数值：$ f'(0) = 0 $，$ f'\left( \frac{3}{4} + i \frac{3}{4} \right) = \frac{27}{16}(1 + i) $； 解析点：无。