2.7 计算题2.4中各系统的冲激响应。-|||-2.4 已知描述系统的微分方程和初始状态如下,试求其零输入响应、零状态响应和全响应。-|||-(1) ''(t)+4y'(t)+3y(t)=f(t) (0)=y'(0)=1 (t)=g(t)-|||-(2) ''(t)+4y'(t)+4y(t)=f'(t)+3f(t) (0)=1 '(0)=2 (t)=(e)^-tg(t)-|||-(3) ''(t)+2y'(t)+2y(t)=f'(t) (0,0)=0 '(0)=1 (t)=g(t)

步骤 1：求解系统的冲激响应
冲激响应 $h(t)$ 是系统在单位冲激函数 $\delta(t)$ 作用下的零状态响应。因此，我们需要将输入 $f(t)$ 替换为 $\delta(t)$，并求解相应的微分方程。

(1) 对于方程 $y''(t)+4y'(t)+3y(t)=\delta(t)$，初始条件为 $y(0)=y'(0)=0$。
(2) 对于方程 $y''(t)+4y'(t)+4y(t)=\delta'(t)+3\delta(t)$，初始条件为 $y(0)=y'(0)=0$。
(3) 对于方程 $y''(t)+2y'(t)+2y(t)=\delta'(t)$，初始条件为 $y(0)=0$，$y'(0)=0$。

步骤 2：求解微分方程
(1) 对于方程 $y''(t)+4y'(t)+3y(t)=\delta(t)$，我们可以通过拉普拉斯变换求解。首先，对微分方程两边进行拉普拉斯变换，得到：
$$
s^2Y(s)+4sY(s)+3Y(s)=1
$$
其中 $Y(s)$ 是 $y(t)$ 的拉普拉斯变换。解得：
$$
Y(s)=\frac{1}{s^2+4s+3}=\frac{1}{(s+1)(s+3)}
$$
然后，对 $Y(s)$ 进行部分分式分解，得到：
$$
Y(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+3}\right)
$$
最后，对 $Y(s)$ 进行拉普拉斯逆变换，得到：
$$
h(t)=\frac{1}{2}\left(e^{-t}-e^{-3t}\right)g(t)
$$

(2) 对于方程 $y''(t)+4y'(t)+4y(t)=\delta'(t)+3\delta(t)$，我们同样可以通过拉普拉斯变换求解。首先，对微分方程两边进行拉普拉斯变换，得到：
$$
s^2Y(s)+4sY(s)+4Y(s)=s+3
$$
其中 $Y(s)$ 是 $y(t)$ 的拉普拉斯变换。解得：
$$
Y(s)=\frac{s+3}{s^2+4s+4}=\frac{s+3}{(s+2)^2}
$$
然后，对 $Y(s)$ 进行部分分式分解，得到：
$$
Y(s)=\frac{1}{s+2}+\frac{1}{(s+2)^2}
$$
最后，对 $Y(s)$ 进行拉普拉斯逆变换，得到：
$$
h(t)=(t+1)e^{-2t}g(t)
$$

(3) 对于方程 $y''(t)+2y'(t)+2y(t)=\delta'(t)$，我们同样可以通过拉普拉斯变换求解。首先，对微分方程两边进行拉普拉斯变换，得到：
$$
s^2Y(s)+2sY(s)+2Y(s)=s
$$
其中 $Y(s)$ 是 $y(t)$ 的拉普拉斯变换。解得：
$$
Y(s)=\frac{s}{s^2+2s+2}=\frac{s}{(s+1)^2+1}
$$
然后，对 $Y(s)$ 进行部分分式分解，得到：
$$
Y(s)=\frac{s+1}{(s+1)^2+1}-\frac{1}{(s+1)^2+1}
$$
最后，对 $Y(s)$ 进行拉普拉斯逆变换，得到：
$$
h(t)=\sqrt{2}e^{-t}\cos(t+\frac{\pi}{4})g(t)
$$