题目
9.（4.0分） 函数f(x,y)=ln(2-x^2-y^2)+(1)/(sqrt(x^2)+y^(2)-1)的定义域为____.
9.（4.0分） 函数$f(x,y)=ln(2-x^{2}-y^{2})+\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}-1}}$的定义域为____.
题目解答
答案
函数 $ f(x,y) = \ln(2 - x^2 - y^2) + \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 - 1}} $ 的定义域需要满足以下条件：
1. 对数部分：$2 - x^2 - y^2 > 0 \Rightarrow x^2 + y^2 < 2$；
2. 分式部分：$\sqrt{x^2 + y^2 - 1} > 0 \Rightarrow x^2 + y^2 > 1$。
综合两条件得：
\[
1 < x^2 + y^2 < 2
\]
**答案：**
\[
\boxed{\{(x,y) \mid 1 < x^2 + y^2 < 2\}}
\]
解析
步骤 1：确定对数函数的定义域
对数函数 $\ln(2 - x^2 - y^2)$ 要求其内部的表达式 $2 - x^2 - y^2$ 大于零，即 $2 - x^2 - y^2 > 0$。这可以重写为 $x^2 + y^2 < 2$，表示所有满足这个不等式的点 $(x, y)$ 都在以原点为中心，半径为 $\sqrt{2}$ 的圆内。
步骤 2：确定分式函数的定义域
分式函数 $\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 - 1}}$ 要求其分母 $\sqrt{x^2 + y^2 - 1}$ 大于零，即 $x^2 + y^2 - 1 > 0$。这可以重写为 $x^2 + y^2 > 1$，表示所有满足这个不等式的点 $(x, y)$ 都在以原点为中心，半径为 $1$ 的圆外。
步骤 3：综合两个条件
综合步骤 1 和步骤 2 的条件，我们得到 $1 < x^2 + y^2 < 2$，这表示所有满足这个不等式的点 $(x, y)$ 都在以原点为中心，半径为 $1$ 和 $\sqrt{2}$ 的两个圆之间的环形区域。
对数函数 $\ln(2 - x^2 - y^2)$ 要求其内部的表达式 $2 - x^2 - y^2$ 大于零，即 $2 - x^2 - y^2 > 0$。这可以重写为 $x^2 + y^2 < 2$，表示所有满足这个不等式的点 $(x, y)$ 都在以原点为中心，半径为 $\sqrt{2}$ 的圆内。
步骤 2：确定分式函数的定义域
分式函数 $\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 - 1}}$ 要求其分母 $\sqrt{x^2 + y^2 - 1}$ 大于零，即 $x^2 + y^2 - 1 > 0$。这可以重写为 $x^2 + y^2 > 1$，表示所有满足这个不等式的点 $(x, y)$ 都在以原点为中心，半径为 $1$ 的圆外。
步骤 3：综合两个条件
综合步骤 1 和步骤 2 的条件，我们得到 $1 < x^2 + y^2 < 2$，这表示所有满足这个不等式的点 $(x, y)$ 都在以原点为中心，半径为 $1$ 和 $\sqrt{2}$ 的两个圆之间的环形区域。