微分方程 xy'' + 2x^2(y')^2 + x^3y = x^4 + 1 的通解中含有____个独立的任意常数.A. 1B. 2C. 3D. 4

关键知识点：微分方程的通解中任意常数的个数通常等于方程的阶数，但需注意非线性方程的特殊情况。

1. 方程类型判断：题目为二阶非线性微分方程（含$y''$和$(y')^2$项）。
2. 通解结构：线性方程的通解中任意常数个数等于阶数，但非线性方程可能例外。
3. 一般结论：若方程存在通解，其任意常数个数仍通常等于阶数，除非有特殊限制（如奇解）。

方程分析

方程形式为：
$xy'' + 2x^2(y')^2 + x^3y = x^4 + 1$

• 二阶：最高导数为$y''$。
• 非线性：含$(y')^2$项，破坏线性叠加性。

任意常数个数

1. 线性方程规则：通解中任意常数个数等于阶数（二阶对应2个）。
2. 非线性方程例外：非线性方程可能不满足此规则，但题目未提示特殊解结构（如奇解）。
3. 一般假设：题目未明确说明存在特殊解，故默认通解包含与阶数相等的任意常数。