题目
例22 试求:(1)-|||-lin. z/x,-|||-(2) lim _(xarrow 1)dfrac (zz-z+z-1)(z-1)
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 $\lim _{x\rightarrow 1+1}\dfrac {\overline {z}}{z}$
首先，我们注意到 $\overline{z}$ 是 $z$ 的共轭复数。对于 $z = x + iy$，其共轭 $\overline{z} = x - iy$。因此，$\dfrac{\overline{z}}{z} = \dfrac{x - iy}{x + iy}$。为了计算这个极限，我们可以将分子和分母同时乘以 $x - iy$ 的共轭，即 $x + iy$，以消除分母中的虚部。
步骤 2：计算 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {z\overline {z}-\overline {z}+z-1}{z-1}$
首先，我们注意到 $z\overline{z} = (x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2$。因此，分子可以写为 $x^2 + y^2 - (x - iy) + (x + iy) - 1 = x^2 + y^2 - 1$。由于 $z - 1 = (x + iy) - 1 = (x - 1) + iy$，我们可以将分子和分母同时除以 $z - 1$，以简化表达式。
首先，我们注意到 $\overline{z}$ 是 $z$ 的共轭复数。对于 $z = x + iy$，其共轭 $\overline{z} = x - iy$。因此，$\dfrac{\overline{z}}{z} = \dfrac{x - iy}{x + iy}$。为了计算这个极限，我们可以将分子和分母同时乘以 $x - iy$ 的共轭，即 $x + iy$，以消除分母中的虚部。
步骤 2：计算 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {z\overline {z}-\overline {z}+z-1}{z-1}$
首先，我们注意到 $z\overline{z} = (x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2$。因此，分子可以写为 $x^2 + y^2 - (x - iy) + (x + iy) - 1 = x^2 + y^2 - 1$。由于 $z - 1 = (x + iy) - 1 = (x - 1) + iy$，我们可以将分子和分母同时除以 $z - 1$，以简化表达式。