题目
【题目】若 f'(x) 为连续函数,则∫f'(2x)dx=()(A)f(2x)+C(B)f(x)+C(c) 1/2f(2x)+C(D)2f(2x)+C
【题目】若 f'(x) 为连续函数,则∫f'(2x)dx=()(A)f(2x)+C(B)f(x)+C(c) 1/2f(2x)+C(D)2f(2x)+C
题目解答
答案
【解析】解选项(C)正确.由不定积分的性质可知∫f'(x)dx=f(x)+C ，于是∫f'(2x)dx=1/2∫f'(2x)d(2x)=1/2f(2x)+C故选(C)正确
解析
步骤 1：理解不定积分的性质
不定积分的性质表明，对于一个连续函数 f(x)，其不定积分 ∫f(x)dx = F(x) + C，其中 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，C 是积分常数。
步骤 2：应用换元法
对于 ∫f'(2x)dx，我们使用换元法。设 u = 2x，则 du = 2dx，即 dx = du/2。因此，原积分可以写为 ∫f'(u) * (du/2)。
步骤 3：计算积分
根据不定积分的性质，∫f'(u)du = f(u) + C。因此，∫f'(u) * (du/2) = 1/2 * ∫f'(u)du = 1/2 * f(u) + C。将 u = 2x 代入，得到 ∫f'(2x)dx = 1/2 * f(2x) + C。
不定积分的性质表明，对于一个连续函数 f(x)，其不定积分 ∫f(x)dx = F(x) + C，其中 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，C 是积分常数。
步骤 2：应用换元法
对于 ∫f'(2x)dx，我们使用换元法。设 u = 2x，则 du = 2dx，即 dx = du/2。因此，原积分可以写为 ∫f'(u) * (du/2)。
步骤 3：计算积分
根据不定积分的性质，∫f'(u)du = f(u) + C。因此，∫f'(u) * (du/2) = 1/2 * ∫f'(u)du = 1/2 * f(u) + C。将 u = 2x 代入，得到 ∫f'(2x)dx = 1/2 * f(2x) + C。