题目

*21.若角^α是第二象限角，则(α)/(3)可能是第（）象限角.【多选题】squareA.一squareB.二squareC.三squareD.四

*21.若角$^{α}$是第二象限角，则$\frac{α}{3}$可能是第（）象限角.【多选题】 $\square$A.一 $\square$B.二 $\square$C.三 $\square$D.四

题目解答

答案

要确定角$\alpha$是第二象限角时，$\frac{\alpha}{3}$可能位于哪个象限，我们首先需要理解$\alpha$的范围。第二象限的角$\alpha$满足不等式$\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$。 接下来，我们将这个不等式的每一部分除以3： \[ \frac{\pi}{6} < \frac{\alpha}{3} < \frac{\pi}{3} \] 这个不等式告诉我们$\frac{\alpha}{3}$位于$\frac{\pi}{6}$和$\frac{\pi}{3}$之间。在单位圆中，这个范围对应于第一象限。因此，$\frac{\alpha}{3}$肯定位于第一象限。 然而，由于$\alpha$是周期为$2\pi$的角，我们也可以考虑$\alpha$的其他可能值，通过向$\alpha$添加$2\pi$的倍数。具体来说，如果$\alpha$是第二象限角，那么$\alpha + 2\pi$和$\alpha + 4\pi$也是第二象限角，依此类推。同样，$\alpha - 2\pi$和$\alpha - 4\pi$也是第二象限角，依此类推。 让我们考虑$\alpha + 2\pi$： \[ \frac{\pi}{2} + 2\pi < \alpha + 2\pi < \pi + 2\pi \implies \frac{5\pi}{2} < \alpha + 2\pi < 3\pi \] 将每一部分除以3，我们得到： \[ \frac{5\pi}{6} < \frac{\alpha + 2\pi}{3} < \pi \] 这个不等式告诉我们$\frac{\alpha + 2\pi}{3}$位于$\frac{5\pi}{6}$和$\pi$之间。在单位圆中，这个范围对应于第二象限。因此，$\frac{\alpha}{3}$可能位于第二象限。 接下来，让我们考虑$\alpha + 4\pi$： \[ \frac{\pi}{2} + 4\pi < \alpha + 4\pi < \pi + 4\pi \implies \frac{9\pi}{2} < \alpha + 4\pi < 5\pi \] 将每一部分除以3，我们得到： \[ \frac{3\pi}{2} < \frac{\alpha + 4\pi}{3} < \frac{5\pi}{3} \] 这个不等式告诉我们$\frac{\alpha + 4\pi}{3}$位于$\frac{3\pi}{2}$和$\frac{5\pi}{3}$之间。在单位圆中，这个范围对应于第四象限。因此，$\frac{\alpha}{3}$可能位于第四象限。 最后，让我们考虑$\alpha + 6\pi$： \[ \frac{\pi}{2} + 6\pi < \alpha + 6\pi < \pi + 6\pi \implies \frac{13\pi}{2} < \alpha + 6\pi < 7\pi \] 将每一部分除以3，我们得到： \[ \frac{13\pi}{6} < \frac{\alpha + 6\pi}{3} < \frac{7\pi}{3} \] 这个不等式告诉我们$\frac{\alpha + 6\pi}{3}$位于$\frac{13\pi}{6}$和$\frac{7\pi}{3}$之间，这等价于$\frac{\pi}{6}$和$\frac{\pi}{3}$（因为$\frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$和$\frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$）。这再次对应于第一象限。 从上述分析中，我们看到$\frac{\alpha}{3}$可能位于第一、第二或第四象限。它不可能位于第三象限，因为$\frac{\alpha}{3}$的范围永远不会覆盖$\pi$和$\frac{3\pi}{2}$之间的值。 因此，正确答案是： \[ \boxed{A, B, D} \]

解析

考查要点：本题主要考查象限角的范围及角度周期性变化对分角象限的影响。
解题核心思路：

  1. 确定原角α的范围：第二象限角α的范围为$\frac{\pi}{2} + 2k\pi < \alpha < \pi + 2k\pi$（k为整数）。
  2. 分析分角$\frac{\alpha}{3}$的范围：将不等式两边除以3，得到$\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3} < \frac{\alpha}{3} < \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}$。
  3. 周期性讨论：通过k的不同取值，分析$\frac{\alpha}{3}$可能落在哪些象限。
    关键点：
  • 周期性叠加：角度每增加$2\pi$，分角$\frac{\alpha}{3}$的象限会循环变化。
  • 排除法：通过具体计算不同k值对应的分角范围，排除不可能的选项。

步骤1：确定原角α的范围

第二象限角α满足：
$\frac{\pi}{2} + 2k\pi < \alpha < \pi + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

步骤2：求分角$\frac{\alpha}{3}$的范围

将不等式两边除以3：
$\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3} < \frac{\alpha}{3} < \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}$

步骤3：分析不同k值对应的象限

  • 当$k=0$时：
    $\frac{\pi}{6} < \frac{\alpha}{3} < \frac{\pi}{3} \quad \text{（第一象限）}$
  • 当$k=1$时：
    $\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} < \frac{\alpha}{3} < \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \pi \quad \text{（第二象限）}$
  • 当$k=2$时：
    $\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi}{2} < \frac{\alpha}{3} < \frac{\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} \quad \text{（第四象限）}$
  • 当$k=-1$时：
    $\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} \quad \text{（等价于$\frac{3\pi}{2}$，第四象限）}$

步骤4：排除第三象限

无论k取何整数，$\frac{\alpha}{3}$的范围始终无法覆盖$\pi$到$\frac{3\pi}{2}$（第三象限）。