已知线性方程组x_{1)+x_(2)+x_(3)=0 ax_(1)+bx_(2)+cx_(3)=0 a^2x_(1)+b^2x_(2)+c^2x_(3)=0.(1)a、b、c满足何种关系时，方程组仅有零解？(2)a、b、c满足何种关系时，方程组有无穷多解，并用基础解系表示全部解.

设方程组的系数矩阵为$A$，

则：$|A|=. 1 1 1 a b c a^{2} b^{2} c^{2} .=. 1 1 1 0 b-a c-a 0 0 \left(c-a\right)\left(c-b\right) .=\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)$.

(1)当$|A|\neq 0 $时，方程组有唯一零解，即当：$a\neq b$，$b\neq c $且$c\neq a$时，方程组仅有零解.

(2)当$a=b$或$b=c$或$c=a$时，方程组有非零解.下面分类讨论.

①当$a=b\neq c$时，

$A= 1 1 1 a a c a^{2} a^{2} c^{2} \rightarrow 1 1 1 0 0 1 0 0 0 $，

故线性方程组的同解方程组为：$\left\{\begin{array}{}x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \\ x_{3}=0\end{array}\right.$，

求得基础解系为：$\eta =\left(1,-1,0\right)^{T}$，

于是通解为：$k_{1}\left(1,-1,0\right)^{T}$，其中$k_{1}$为任意常数.

②当$b=c\neq a$时，

线性方程组的同解方程组为：$\left\{\begin{array}{}x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \\ x_{1}=0\end{array}\right.$，

得基础解系为：$\eta =\left(0,1,-1\right)^{T}$，

于是方程的通解为：$k_{2}\left(0,1,-1\right)^{T}$，其中$k_{2}$为任意常数.

③当$c=a\neq b$时，

线性方程组的同解方程组为：$\left\{\begin{array}{}x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \\ x_{2}=0\end{array}\right.$，

得基础解系为：$\eta =\left(1,-0,-1\right)^{T}$，

求得方程的通解为：$k_{3}\left(1,0,-1\right)^{T}$，其中$k_{3}$为任意常数.

④当$a=b=c$时，

线性方程组的同解方程组为：$x_{1}+x_{2}+x_{3}=0$，

得基础解系为：$\eta _{1}=\left(1,-1,0\right)^{T}$，$\eta _{2}=\left(1,0,-1\right)^{T}$，

从而方程的通解为：$k_{4}\left(1,-1,0\right)^{T }+k_{5}\left(1,0,-1\right)^{T}$，其中$k_{4}$、$k_{5}$为任意常数.