但尔算子作用于标量函数和矢量函数时有()种形式,但尔算子具有矢量的形式,但不是完整的矢量。A. 1B. 2C. 3D. 4

考查要点：本题主要考查对拉普拉斯算子（但尔算子）作用对象及形式的理解，需明确其在标量函数和矢量函数中的不同应用形式，同时注意其矢量性质的特殊性。

解题核心思路：

1. 拉普拉斯算子的基本性质：拉普拉斯算子（$\nabla^2$）本质上是标量算子，但其表达式可分解为矢量微分算子的组合（$\nabla \cdot \nabla$）。
2. 作用对象的差异：
   • 标量函数：作用结果仍为标量（如 $\nabla^2 \phi$）。
   • 矢量函数：可有两种形式：
     • 分量独立作用：对矢量的每个分量单独应用标量拉普拉斯算子（如 $\nabla^2 \mathbf{A} = (\nabla^2 A_x, \nabla^2 A_y, \nabla^2 A_z)$）。
     • 矢量拉普拉斯算子：与散度、旋度结合的组合形式（如 $\nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})$）。
3. 关键结论：总共有3种形式，对应标量和矢量的不同应用场景。

拉普拉斯算子的作用形式取决于其作用对象的类型：

1. 标量函数：
   • 表达式为 $\nabla^2 \phi = \nabla \cdot (\nabla \phi)$，结果为标量。
2. 矢量函数：
   • 分量独立作用：对矢量 $\mathbf{A}$ 的每个分量分别应用标量拉普拉斯算子，结果为矢量 $\nabla^2 \mathbf{A}$。
   • 矢量拉普拉斯算子：组合形式 $\nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A})$，常用于电磁学等物理问题。

总结：拉普拉斯算子在标量和矢量函数中共形成3种形式，因此正确答案为 C。