题目
20.（5.0分）已知非齐次线性方程组}x_(1)+x_(2)+lambda x_(3)=1lambda x_(1)+x_(2)+x_(3)=1x_(1)+x_(2)+x_(3)=lambda,则当lambda=1时方程组有无穷多解.A. 对B. 错
20.（5.0分）已知非齐次线性方程组
$\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=1\\
\lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}=1\\
x_{1}+x_{2}+x_{3}=\lambda\end{cases}$,则当$\lambda=1$时方程组有无穷多解.
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：代入 $\lambda = 1$
将 $\lambda = 1$ 代入给定的非齐次线性方程组中，得到 \[ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ x_1 + x_2 + x_3 = 1 \end{cases} \] 此时，方程组中的三个方程完全相同。
步骤 2：分析方程组的解
由于方程组中的三个方程完全相同，方程组可以简化为一个方程 $x_1 + x_2 + x_3 = 1$。这意味着方程组有无穷多解，因为 $x_1, x_2, x_3$ 只需要满足 $x_1 + x_2 + x_3 = 1$ 即可，其中两个变量可以任意取值，另一个变量由 $x_3 = 1 - x_1 - x_2$ 确定。
将 $\lambda = 1$ 代入给定的非齐次线性方程组中，得到 \[ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ x_1 + x_2 + x_3 = 1 \end{cases} \] 此时，方程组中的三个方程完全相同。
步骤 2：分析方程组的解
由于方程组中的三个方程完全相同，方程组可以简化为一个方程 $x_1 + x_2 + x_3 = 1$。这意味着方程组有无穷多解，因为 $x_1, x_2, x_3$ 只需要满足 $x_1 + x_2 + x_3 = 1$ 即可，其中两个变量可以任意取值，另一个变量由 $x_3 = 1 - x_1 - x_2$ 确定。