设有线性方程组-|||-lambda -1 -2 x1 1 1-|||-0 lambda -2 lambda +1 x2 = 3-|||-0 0 lambda +1 x3 5-|||-问λ为何值时(1)有惟一解;(2)无解;(3)有无限多解?并在有无限多解时求-|||-其通解.

步骤 1：计算系数矩阵A的秩
首先，我们计算系数矩阵A的秩。系数矩阵A为：
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & \lambda - 1 & -2 \\
0 & \lambda - 2 & \lambda + 1 \\
0 & 0 & 2\lambda + 1
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算增广矩阵(A,b)的秩
然后，我们计算增广矩阵(A,b)的秩。增广矩阵(A,b)为：
$$
(A,b) = \begin{pmatrix}
1 & \lambda - 1 & -2 & 1 \\
0 & \lambda - 2 & \lambda + 1 & 3 \\
0 & 0 & 2\lambda + 1 & 5
\end{pmatrix}
$$
步骤 3：分析不同情况下的秩
根据线性方程组的解的性质，我们分析不同情况下的秩：
- 当$\lambda \neq -2$且$\lambda \neq -\dfrac{1}{2}$时，$R(A)=R(A,b)=3$，方程组有唯一解。
- 当$\lambda = -\dfrac{1}{2}$时，$R(A)=2$，而$R(A,b)=3$，方程组无解。
- 当$\lambda = 2$时，$R(A)=R(A,b)=2<3$，方程组有无限多解。
步骤 4：求解有无限多解时的通解
当$\lambda = 2$时，方程组的增广矩阵化简为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
得到同解方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 = -x_2 + 3 \\
x_3 = 1
\end{cases}
$$
因此，通解为：
$$
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
+
c
\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
$$
其中$c \in \mathbb{R}$。