题目
12 10 Y 10 3 1-|||-26.计算 0 0 2 1 0 0 -2 3-|||-0 1 0 1 0 1 2 -1-|||-0 0 0 3 0 0 0-3
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查分块矩阵的乘法运算，涉及矩阵相乘的基本规则以及分块矩阵的运算技巧。
解题核心思路：
- 分块矩阵乘法规则：若分块矩阵满足乘法条件，则各子块按对应位置相乘后相加。
- 关键步骤：明确分块矩阵的结构，分别计算上部分块和下部分块的乘积，注意单位矩阵和零矩阵的作用。
破题关键点：
- 识别分块结构：左侧分块矩阵为 $\begin{pmatrix} A_1 & E \\ A_2 & O_2 \end{pmatrix}$，右侧分块矩阵为 $\begin{pmatrix} B_1 \\ B_2^2 \end{pmatrix}$。
- 单位矩阵与零矩阵的性质：单位矩阵乘法保持原矩阵不变，零矩阵乘法结果为零矩阵。
步骤1：明确分块矩阵的结构
左侧分块矩阵为：
$\begin{pmatrix}A_1 & E \\A_2 & O_2\end{pmatrix}$
右侧分块矩阵为：
$\begin{pmatrix}B_1 \\B_2^2\end{pmatrix}$
步骤2：应用分块矩阵乘法规则
根据分块矩阵乘法，结果矩阵的上部分为 $A_1 B_1 + E \cdot B_2^2$，下部分为 $A_2 B_1 + O_2 \cdot B_2^2$。
- 上部分块：$A_1 B_1 + B_2$（题目中可能 $B_2^2$ 实际为 $B_2$，需结合题目具体要求）。
- 下部分块：$A_2 B_1$（因 $O_2 \cdot B_2^2 = O_2$）。
步骤3：计算具体矩阵乘积
以题目中给定矩阵为例：
- 计算 $A_1 B_1$：
$A_1 B_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 3 + 2 \cdot 2 & 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) \\ 0 \cdot 3 + 1 \cdot 2 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ - 计算 $A_1 B_1 + B_2$：
$\begin{pmatrix} 7 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ - 计算 $A_2 B_1$：
$A_2 B_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 + 1 \cdot 2 & 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \\ 0 \cdot 3 + 3 \cdot 2 & 0 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 1 \\ 6 & -3 \end{pmatrix}$
步骤4：整合结果
最终分块矩阵乘积为：
$\begin{pmatrix}9 & 2 \\2 & 2\end{pmatrix}
\quad \text{（上部分块）}, \quad
\begin{pmatrix}8 & 1 \\6 & -3\end{pmatrix}
\quad \text{（下部分块）}$