(26) int dfrac (1-x)(sqrt {9-4{x)^2}}dx

考查要点：本题主要考查分母为二次根式的不定积分的解法，需要运用三角替换法进行变量替换，并结合代数运算化简积分表达式。

解题核心思路：

1. 观察分母形式：分母为$\sqrt{9-4x^2}$，属于$\sqrt{a^2 - u^2}$类型，适合用三角替换法。
2. 变量替换：令$2x = 3\sin t$，将根式转化为三角函数形式，简化积分。
3. 分子拆分：将分子$1-x$拆分为与替换变量相关的表达式，分别积分后合并结果。
4. 回代变量：将积分结果中的三角函数变量$t$用原变量$x$表示，得到最终答案。

变量替换与化简

1. 令$2x = 3\sin t$，则$x = \dfrac{3}{2}\sin t$，$dx = \dfrac{3}{2}\cos t \, dt$。
2. 分母化简：$\sqrt{9-4x^2} = \sqrt{9 - 9\sin^2 t} = 3\cos t$。
3. 分子表达式：$1 - x = 1 - \dfrac{3}{2}\sin t$。

积分过程

将原积分转化为关于$t$的积分：
$\begin{aligned}\int \frac{1-x}{\sqrt{9-4x^2}} dx &= \int \frac{1 - \dfrac{3}{2}\sin t}{3\cos t} \cdot \dfrac{3}{2}\cos t \, dt \\&= \dfrac{1}{2} \int \left(1 - \dfrac{3}{2}\sin t\right) dt.\end{aligned}$

分项积分

1. 积分$\int 1 \, dt$：结果为$t$。
2. 积分$\int \sin t \, dt$：结果为$-\cos t$。
   合并得：
   $\dfrac{1}{2} \left( t + \dfrac{3}{2}\cos t \right) + C.$

回代变量

1. $t = \arcsin \dfrac{2}{3}x$。
2. $\cos t = \sqrt{1 - \sin^2 t} = \dfrac{\sqrt{9-4x^2}}{3}$。
   代入后整理：
   $\dfrac{1}{4}\left( \sqrt{9-4x^2} + 2\arcsin \dfrac{2}{3}x \right) + C.$