(2020年3)曲线 x+y+e^2xy=0 在点(0,-1)处的切线方程为_____.

考查要点：本题主要考查隐函数求导法的应用，以及利用导数求曲线在某一点处的切线方程。

解题核心思路：

1. 隐函数求导：对等式两边关于$x$求导，注意将$y$视为$x$的函数，应用链式法则和乘积法则。
2. 解出导数$\frac{dy}{dx}$：将求导后的方程整理变形，解出$\frac{dy}{dx}$的表达式。
3. 代入点求斜率：将点$(0, -1)$代入导数表达式，计算出切线的斜率。
4. 写切线方程：利用点斜式方程$y - y_0 = k(x - x_0)$，代入斜率和切点坐标即可。

破题关键点：

• 正确应用乘积法则：在对$e^{2xy}$求导时，需对指数部分$2xy$使用乘积法则。
• 代入点时的简化：代入$x=0$时，分母中的$2xe^{2xy}$项会自动消失，简化计算。

对等式$x + y + e^{2xy} = 0$两边关于$x$求导：

1. 逐项求导：

   • $x$的导数为$1$。
   • $y$的导数为$\frac{dy}{dx}$。
   • $e^{2xy}$的导数为$e^{2xy} \cdot \frac{d}{dx}(2xy)$，其中$\frac{d}{dx}(2xy) = 2y + 2x\frac{dy}{dx}$（应用乘积法则）。

   综上，导数方程为：
   $1 + \frac{dy}{dx} + e^{2xy}(2y + 2x\frac{dy}{dx}) = 0$

2. 整理并解出$\frac{dy}{dx}$：
   将含$\frac{dy}{dx}$的项合并：
   $\frac{dy}{dx}\left(1 + 2xe^{2xy}\right) = -\left(1 + 2ye^{2xy}\right)$
   解得：
   $\frac{dy}{dx} = -\frac{1 + 2ye^{2xy}}{1 + 2xe^{2xy}}$

3. 代入点$(0, -1)$：

   • $x = 0$，$y = -1$，代入分母和分子：
     • 分母：$1 + 2 \cdot 0 \cdot e^{2 \cdot 0 \cdot (-1)} = 1$
     • 分子：$- \left(1 + 2 \cdot (-1) \cdot e^{0}\right) = - (1 - 2) = 1$
   • 因此，$\frac{dy}{dx}\bigg|_{(0, -1)} = \frac{1}{1} = 1$，即切线斜率为$1$。

4. 写切线方程：
   利用点斜式$y - (-1) = 1 \cdot (x - 0)$，化简得：
   $y = x - 1$