例 7-9 求下示差分方程的完全解-|||-y(n)+2y(n-1)=x(n)-x(n-1)-|||-其中激励函数 (n)=(n)^2 ,且已知 y(-1)=-1 。

考查要点：本题主要考查差分方程的求解方法，包括齐次解、特解的求解以及利用初始条件确定待定系数。

解题思路：

1. 齐次方程求解：将原方程转化为齐次方程，求出特征根，得到齐次解的形式。
2. 特解求解：根据非齐次项的形式（自由项），假设特解形式，代入方程求解待定系数。
3. 完全解构造：齐次解与特解之和即为完全解。
4. 确定待定系数：利用初始条件代入完全解，解方程求出齐次解中的待定系数。

破题关键：

• 齐次方程的特征根：通过特征方程确定齐次解的形式。
• 特解形式的选择：根据非齐次项的类型（多项式）选择特解形式，避免与齐次解重复。
• 系数匹配：通过代入方程并比较系数，确定特解中的待定系数。

1. 求齐次解

齐次方程为：
$y(n) + 2y(n-1) = 0$
特征方程为：
$r + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad r = -2$
因此，齐次解为：
$y_h(n) = C(-2)^n$

2. 求特解

非齐次项为：
$x(n) - x(n-1) = n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1$
假设特解形式为一次多项式：
$y_p(n) = D_1 n + D_2$
代入原方程：
$D_1 n + D_2 + 2\left[D_1(n-1) + D_2\right] = 2n - 1$
展开并整理：
$3D_1 n + (3D_2 - 2D_1) = 2n - 1$
比较系数得方程组：
$\begin{cases}3D_1 = 2 \\3D_2 - 2D_1 = -1\end{cases}$
解得：
$D_1 = \dfrac{2}{3}, \quad D_2 = \dfrac{1}{9}$
因此，特解为：
$y_p(n) = \dfrac{2}{3}n + \dfrac{1}{9}$

3. 构造完全解

完全解为齐次解与特解之和：
$y(n) = C(-2)^n + \dfrac{2}{3}n + \dfrac{1}{9}$

4. 确定待定系数

代入初始条件 $y(-1) = -1$：
$-1 = C(-2)^{-1} + \dfrac{2}{3}(-1) + \dfrac{1}{9}$
化简得：
$-1 = -\dfrac{C}{2} - \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{9}$
解得：
$C = \dfrac{8}{9}$