题目

在曲线x=t，y=-t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线(　　)A. 只有1条B. 只有2条C. 至少有3条D. 不存在

在曲线x=t，y=-t 2，z=t 3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线(　　)
A. 只有1条
B. 只有2条
C. 至少有3条
D. 不存在

题目解答

答案

∵ 曲线 x=t,y=−t2,z=t3 的切向量：

T→=(x′,y′,z′)=(1,−2t,3t2) ，

而平面 x+2y+z=4 的法向量：

n→=(1,2,1) ，

∴ 要使得曲线的切线与平面平行 , 则必有： T→⊥n→ ，

即： T→⋅n→=1−4t+3t2=0 ，

解得： t=13 和 t=1 ，

①当 t=13 时 ,(x,y,z)=(13,−19,127) ；

②当 t=1 时 ,(x,y,z)=(1,−1,1)

这两个点都不在平面 x+2y+z=4 上，

因此：在曲线 x=t,y=−t2,z=t3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线只有两条。

解析

步骤 1：确定曲线的切向量
曲线 x=t, y=-t^2, z=t^3 的切向量为 T→=(x′,y′,z′)=(1,−2t,3t^2)。

步骤 2：确定平面的法向量
平面 x+2y+z=4 的法向量为 n→=(1,2,1)。

步骤 3：确定切线与平面平行的条件
要使得曲线的切线与平面平行，则必有 T→⊥n→，即 T→⋅n→=0。

步骤 4：计算切向量与法向量的点积
T→⋅n→=1−4t+3t^2=0。

步骤 5：求解方程
解方程 1−4t+3t^2=0，得到 t=13 和 t=1。

步骤 6：验证切线是否在平面上
当 t=13 时，(x,y,z)=(13,−19,127)；当 t=1 时，(x,y,z)=(1,−1,1)。这两个点都不在平面 x+2y+z=4 上。