题目
注 类似地，设f(x)在x=a处可导，且f(a)≠0，则lim_(n to infty ) [ ( n int _(a)^a+ frac (1)/(n) f(x)dx )( f(a) ) ] ^n = ___
注 类似地，设f(x)在x=a处可导，且f(a)≠0，则
$\lim_{n \to \infty } \left[ \frac { n \int _{a}^{a+ \frac {1}{n} } f(x)dx }{ f(a) } \right] ^{n} = ___ $
题目解答
答案
为了解决给定的极限问题，我们首先分析极限内的表达式：
\[
\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{n \int_a^{a + \frac{1}{n}} f(x) \, dx}{f(a)} \right]^n
\]
首先，我们需要评估积分 $\int_a^{a + \frac{1}{n}} f(x) \, dx$。由于 $f(x)$ 在 $x = a$ 处可导，它在 $a$ 附近是连续的。因此，对于大的 $n$，$f(x)$ 在区间 $[a, a + \frac{1}{n}]$ 上的值接近 $f(a)$。我们可以使用积分中值定理，该定理指出存在一个点 $c \in [a, a + \frac{1}{n}]$，使得：
\[
\int_a^{a + \frac{1}{n}} f(x) \, dx = f(c) \left( a + \frac{1}{n} - a \right) = \frac{f(c)}{n}
\]
由于 $c$ 随 $n$ 趋向于无穷大而接近 $a$，$f(c)$ 趋向于 $f(a)$。因此，对于大的 $n$，我们有：
\[
\int_a^{a + \frac{1}{n}} f(x) \, dx \approx \frac{f(a)}{n}
\]
将此代入极限内的表达式，我们得到：
\[
\frac{n \int_a^{a + \frac{1}{n}} f(x) \, dx}{f(a)} \approx \frac{n \cdot \frac{f(a)}{n}}{f(a)} = 1
\]
然而，我们需要更精确地分析表达式。设 $I_n = \int_a^{a + \frac{1}{n}} f(x) \, dx$。那么：
\[
\frac{n I_n}{f(a)} = \frac{n \int_a^{a + \frac{1}{n}} f(x) \, dx}{f(a)}
\]
我们可以将 $f(x)$ 在 $x = a$ 处展开为泰勒级数：
\[
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + O((x - a)^2)
\]
因此，
\[
\int_a^{a + \frac{1}{n}} f(x) \, dx = \int_a^{a + \frac{1}{n}} \left[ f(a) + f'(a)(x - a) + O((x - a)^2) \right] \, dx
\]
我们可以将积分分为三部分：
\[
\int_a^{a + \frac{1}{n}} f(a) \, dx + \int_a^{a + \frac{1}{n}} f'(a)(x - a) \, dx + \int_a^{a + \frac{1}{n}} O((x - a)^2) \, dx
\]
第一部分是：
\[
f(a) \int_a^{a + \frac{1}{n}} 1 \, dx = f(a) \cdot \frac{1}{n}
\]
第二部分是：
\[
f'(a) \int_a^{a + \frac{1}{n}} (x - a) \, dx = f'(a) \left[ \frac{(x - a)^2}{2} \right]_a^{a + \frac{1}{n}} = f'(a) \cdot \frac{1}{2n^2}
\]
第三部分是：
\[
\int_a^{a + \frac{1}{n}} O((x - a)^2) \, dx = O \left( \int_a^{a + \frac{1}{n}} (x - a)^2 \, dx \right) = O \left( \frac{1}{3n^3} \right)
\]
将这些加在一起，我们得到：
\[
\int_a^{a + \frac{1}{n}} f(x) \, dx = \frac{f(a)}{n} + \frac{f'(a)}{2n^2} + O \left( \frac{1}{n^3} \right)
\]
因此，
\[
\frac{n I_n}{f(a)} = \frac{n \left( \frac{f(a)}{n} + \frac{f'(a)}{2n^2} + O \left( \frac{1}{n^3} \right) \right)}{f(a)} = 1 + \frac{f'(a)}{2f(a)n} + O \left( \frac{1}{n^2} \right)
\]
现在，我们需要找到：
\[
\lim_{n \to \infty} \left[ 1 + \frac{f'(a)}{2f(a)n} + O \left( \frac{1}{n^2} \right) \right]^n
\]
使用极限 $\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} + O \left( \frac{1}{n^2} \right) \right)^n = e^x$，我们得到：
\[
\lim_{n \to \infty} \left[ 1 + \frac{f'(a)}{2f(a)n} + O \left( \frac{1}{n^2} \right) \right]^n = e^{\frac{f'(a)}{2f(a)}}
\]
因此，答案是：
\[
\boxed{e^{\frac{f'(a)}{2f(a)}}}
\]