题目
一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分，求这曲线的方程。
一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分，求这曲线的方程。
题目解答
答案
由已知，取曲线上任意点（x，y），可见过该点的切线斜率都是-y/x，只有这样才能保证切点平分切线所以y‘=-y/xy'/y=-1/x∫(y'/y)dy=∫(-1/x)dxlny=-lnx+Clny=ln1/x+lnC'lny=lnC'/Xy=C'/x因为过（2,3)点，所以C'=6所以y=6/x本题无他，就是根据导数是切线斜率的几何意义，解一个微分方程
解析
步骤 1：确定切线斜率
根据题意，曲线在任意点（x，y）处的切线斜率是 -y/x。这是因为切线在两坐标轴间的线段被切点平分，所以切线斜率必须满足这个条件。
步骤 2：建立微分方程
由于切线斜率是导数 y'，我们有 y' = -y/x。这是一个可分离变量的微分方程。
步骤 3：解微分方程
分离变量，得到 dy/y = -dx/x。两边积分，得到 ln|y| = -ln|x| + C，其中 C 是积分常数。化简得到 ln|y| = ln|C/x|，即 y = C/x，其中 C 是新的常数。
步骤 4：确定常数 C
根据曲线通过点（2，3），代入 y = C/x 得到 3 = C/2，解得 C = 6。
根据题意，曲线在任意点（x，y）处的切线斜率是 -y/x。这是因为切线在两坐标轴间的线段被切点平分，所以切线斜率必须满足这个条件。
步骤 2：建立微分方程
由于切线斜率是导数 y'，我们有 y' = -y/x。这是一个可分离变量的微分方程。
步骤 3：解微分方程
分离变量，得到 dy/y = -dx/x。两边积分，得到 ln|y| = -ln|x| + C，其中 C 是积分常数。化简得到 ln|y| = ln|C/x|，即 y = C/x，其中 C 是新的常数。
步骤 4：确定常数 C
根据曲线通过点（2，3），代入 y = C/x 得到 3 = C/2，解得 C = 6。