三、判断题34、方程y''+4y'+4y=0y''+4y'+4y=0的通解含e-2xe-2x项A 对B 错

考查要点：本题主要考查二阶常系数齐次微分方程的通解形式，特别是特征方程有重根时的解的结构。

解题核心思路：

1. 写出特征方程：将微分方程转化为对应的二次方程。
2. 求解特征根：通过判别式判断根的性质（实根、重根等）。
3. 确定通解形式：根据根的不同情况写出通解，特别注意重根时解的构造方式。
4. 验证通解是否包含指定项：观察通解中的指数项是否包含题目中提到的项。

破题关键点：

• 特征方程的正确性：确保将微分方程正确转换为特征方程。
• 重根的处理：当特征方程有重根时，通解中需包含$x$与指数项的乘积项。
• 通解的结构分析：通过通解的形式判断是否包含特定项。

步骤1：写出特征方程
微分方程 $y'' + 4y' + 4y = 0$ 对应的特征方程为：
$r^2 + 4r + 4 = 0$

步骤2：求解特征根
解方程 $r^2 + 4r + 4 = 0$：

• 判别式 $\Delta = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0$，说明方程有重根。
• 根为 $r = \frac{-4 \pm \sqrt{0}}{2} = -2$，即 $r_1 = r_2 = -2$。

步骤3：确定通解形式
当特征方程有重根 $r = -2$ 时，通解为：
$y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{-2x}$
其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为任意常数。

步骤4：验证是否包含 $e^{-2x}$ 项
通解中的项包含 $e^{-2x}$（当 $C_2 = 0$ 时），因此题目描述正确。